Determine
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar
quando
. Isso está relacionado ao cálculo de diferenciais em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer um pouquinho sobre derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
, onde
. Para encontrar
, vamos usar a regra da cadeia:
Sabemos que a derivada de
em relação a
é:
Então, substituindo:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
. Como
, temos que
é uma função de três variáveis:
,
e
. O diferencial de
é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
Então, substituindo na expressão do
:
Passo 5
Voltando à expressão de
:
Lembrando que
, podemos substituir de volta:
Resposta
Portanto, o diferencial
é: