Determine para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar quando . Isso está relacionado ao cálculo de diferenciais em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer um pouquinho sobre derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que , onde . Para encontrar , vamos usar a regra da cadeia:
Sabemos que a derivada de em relação a é:
Então, substituindo:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar . Como , temos que é uma função de três variáveis: , e . O diferencial de é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Então, substituindo na expressão do :

Passo 5

Voltando à expressão de :
Lembrando que , podemos substituir de volta:

Resposta

Portanto, o diferencial é:

Exercícios relacionados

Encontre a derivada das funções a seguir.
8.
Resp.:
Estude a diferenciabilidade das funções a seguir nos pontos indicados. Justifique sua resposta.
C.
Calcule os limites. Justifique.
Seja . Determine e .