Determine d w para w = tan^(-1)(x y z).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar quando . Isso está relacionado ao cálculo de diferenciais em funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e conhecer um pouquinho sobre derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que , onde . Para encontrar , vamos usar a regra da cadeia:
Sabemos que a derivada de em relação a é:
Então, substituindo:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar . Como , temos que é uma função de três variáveis: , e . O diferencial de é dado por:
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
Então, substituindo na expressão do :

Passo 5

Voltando à expressão de :
Lembrando que , podemos substituir de volta:

Resposta

Portanto, o diferencial é:

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