Seja
. Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
,
e
, e depois avaliar essas derivadas no ponto
. A gente vai precisar usar cálculo de derivadas parciais e algumas regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que a gente denota por
. Quando derivamos em relação a
, tratamos as outras variáveis como constantes.
Temos:
Derivando em relação a
:
Explicação: A derivada de
em relação a
é 1, e as outras partes são constantes.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
, ou seja, encontrar
. Aqui, tratamos
,
e
como constantes.
Derivando:
Explicação: A derivada de
em relação a
é
pela regra da cadeia.
Passo 4
Vamos para a derivada em relação a
, ou
. Agora,
,
e
são constantes.
Derivando:
Explicação: Usamos a regra da cadeia para derivar
, que resulta em
.
Passo 5
Finalmente, vamos derivar
em relação a
, ou
. As outras variáveis são tratadas como constantes.
Derivando:
Explicação: A derivada de
em relação a
é
pela regra da cadeia.
Passo 6
Agora, vamos avaliar todas essas derivadas no ponto
, ou seja, onde
,
,
e
.
Calculando cada uma:
Resposta
Em
:
Exercícios relacionados
Calcule os limites. Justifique.
Determine
para
.
Encontre a derivada das funções a seguir.
10.
10.
Uma curva
é definida pelas equações paramétricas
e
(b) Determine os pontos de onde a tangente é horizontal ou vertical. Se tiver.
(b) Determine os pontos de