Seja . Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de em relação a , , e , e depois avaliar essas derivadas no ponto . A gente vai precisar usar cálculo de derivadas parciais e algumas regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que a gente denota por . Quando derivamos em relação a , tratamos as outras variáveis como constantes.
Temos:
Derivando em relação a :
Explicação: A derivada de em relação a é 1, e as outras partes são constantes.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a , ou seja, encontrar . Aqui, tratamos , e como constantes.
Derivando:
Explicação: A derivada de em relação a é pela regra da cadeia.

Passo 4

Vamos para a derivada em relação a , ou . Agora, , e são constantes.
Derivando:
Explicação: Usamos a regra da cadeia para derivar , que resulta em .

Passo 5

Finalmente, vamos derivar em relação a , ou . As outras variáveis são tratadas como constantes.
Derivando:
Explicação: A derivada de em relação a é pela regra da cadeia.

Passo 6

Agora, vamos avaliar todas essas derivadas no ponto , ou seja, onde , , e .
Calculando cada uma:

Resposta

Em :

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Determine para .
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10.
Uma curva é definida pelas equações paramétricas e
(b) Determine os pontos de onde a tangente é horizontal ou vertical. Se tiver.