Determinar, através da definição, a continuidade ou descontinuidade (em x=pi2 ) da função:
f(x)=ll sen(x+pi2), & se x <= pi2 x-pi2, & se x>pi2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. Temos uma função definida por partes:
f(x)=ll sen(x+pi2), & se x <= pi2 x-pi2, & se x > pi2
A gente quer descobrir se essa função é contínua ou descontínua no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente diz que uma função é contínua em um ponto se o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função nesse ponto forem iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de f(x) = sen(x + pi2) quando limx to pi2^- sen(x + pi2) se aproxima de limx to pi2^- f(x) = 0 pela esquerda, ou seja, .
Nesse caso, usamos a parte da função onde :
Então, calculamos:
Sabemos que . Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de f(x) = x - pi2 quando limx to pi2^+ (x - pi2) = pi2 - pi2 = 0 se aproxima de limx to pi2^+ f(x) = 0 pela direita, ou seja, .
Nesse caso, usamos a parte da função onde :
Então, calculamos:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos verificar o valor da função no ponto f(pi2) = sen(pi2 + pi2) = sen(pi) = 0 :
Como está incluído na primeira parte da função ( ):

Resposta

Como o limite pela esquerda ( ), o limite pela direita ( ) e o valor da função em ( ) são iguais, a função é contínua em .

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