Calcule os limites laterais da função no ponto indicado e descida se o limite da função existe no ponto. Faça um esboço do gráfico da função.
, em 0 ;
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede. Temos uma função definida por partes:
A questão quer que calculemos os limites laterais dessa função em
e verifiquemos se o limite geral existe nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender o que são limites laterais e como calcular cada um deles separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja,
vindo de valores menores que 0. Nesse caso, segundo a definição da função,
. Portanto:
Isso significa que, à medida que
se aproxima de 0 pela esquerda, o valor da função se aproxima de -2.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 0 pela direita, ou seja,
vindo de valores maiores que 0. Segundo a definição da função,
nesse intervalo. Então:
Isso quer dizer que, à medida que
se aproxima de 0 pela direita, o valor da função se aproxima de 2.
Passo 4
Para que o limite geral da função em
exista, os limites laterais precisam ser iguais. No nosso caso, vimos que:
Como -2 é diferente de 2, os limites laterais não são iguais.
Passo 5
Como os limites laterais são diferentes, concluímos que:
Resposta
Os limites laterais da função em
são
pela esquerda e
pela direita. Como os limites laterais são diferentes, o limite da função em
não existe.
Observação sobre o Gráfico
Embora não possamos desenhar aqui, a função apresenta dois valores constantes:
para todos os
menores ou iguais a 0 e
para todos os
maiores que 0. No ponto
, há um “salto” de -2 para 2, indicando que o limite não existe naquele ponto.