Calcule os limites laterais da função no ponto indicado e descida se o limite da função existe no ponto. Faça um esboço do gráfico da função. , em -1 ;
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A gente tem uma função definida por partes e precisa calcular os limites laterais dela no ponto . Também precisamos ver se o limite geral existe nesse ponto e fazer um esboço do gráfico da função.
Matéria envolvida: Limites de funções, funções definidas por partes.
O que vamos precisar:
Entender como calcular limites laterais.
Saber identificar o comportamento da função em cada intervalo.
Utilizar a definição de limite para funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de forma mais clara:
Observamos que é igual a , então, na prática, a função é para todo , e .
Passo 3
Vamos calcular o limite à esquerda de , ou seja, quando se aproxima de -1 vindo dos valores menores que -1.
Para :
Como , é negativo, então:
Então, o limite pela esquerda é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite à direita de , ou seja, quando se aproxima de -1 vindo dos valores maiores que -1.
Para :
Aqui, é positivo porque está próximo de -1:
Então, o limite pela direita é:
Passo 5
Agora que temos os limites laterais:
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais, o limite geral em existe e é igual a 2.
Passo 6
Vamos resumir:
Como o limite geral existe e é igual a 2, mesmo que , isso significa que a função tem um ponto de descontinuidade removível em .
Passo 7
Agora, vamos ao esboço do gráfico da função:
Para : , que é uma reta decrescente.
Para : , que é uma reta também decrescente.
Em : , mas o limite é 2, então temos um ponto aberto em no gráfico da reta.
Esboço:
Desenhe uma reta decrescente passando por para .
Desenhe a mesma reta decrescente para .
Marque um ponto fechado em , indicando que , e deixe um círculo aberto em para mostrar o limite.
Resposta
Os limites laterais da função em são ambos iguais a 2, e o limite geral existe e é igual a 2. O esboço do gráfico da função apresenta duas retas decrescentes que se encontram em com um ponto fechado em .