Calcule os limites laterais da função no ponto indicado e descida se o limite da função existe no ponto. Faça um esboço do gráfico da função.
f(x) = { |x-1|, se x < -1; 0, se x = -1; |1-x|, se x > -1 }, em -1 ;

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A gente tem uma função definida por partes e precisa calcular os limites laterais dela no ponto . Também precisamos ver se o limite geral existe nesse ponto e fazer um esboço do gráfico da função.
Matéria envolvida: Limites de funções, funções definidas por partes.
O que vamos precisar:
  • Entender como calcular limites laterais.
  • Saber identificar o comportamento da função em cada intervalo.
  • Utilizar a definição de limite para funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de forma mais clara:
Observamos que é igual a , então, na prática, a função é para todo , e .

Passo 3

Vamos calcular o limite à esquerda de , ou seja, quando se aproxima de -1 vindo dos valores menores que -1.
Para :
Como , é negativo, então:
Então, o limite pela esquerda é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite à direita de , ou seja, quando se aproxima de -1 vindo dos valores maiores que -1.
Para :
Aqui, é positivo porque está próximo de -1:
Então, o limite pela direita é:

Passo 5

Agora que temos os limites laterais:
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais, o limite geral em existe e é igual a 2.

Passo 6

Vamos resumir:
Como o limite geral existe e é igual a 2, mesmo que , isso significa que a função tem um ponto de descontinuidade removível em .

Passo 7

Agora, vamos ao esboço do gráfico da função:
  1. Para : , que é uma reta decrescente.
  2. Para : , que é uma reta também decrescente.
  3. Em : , mas o limite é 2, então temos um ponto aberto em no gráfico da reta.
Esboço:
  • Desenhe uma reta decrescente passando por para .
  • Desenhe a mesma reta decrescente para .
  • Marque um ponto fechado em , indicando que , e deixe um círculo aberto em para mostrar o limite.

Resposta

Os limites laterais da função em são ambos iguais a 2, e o limite geral existe e é igual a 2. O esboço do gráfico da função apresenta duas retas decrescentes que se encontram em com um ponto fechado em .

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