Encontre, se existir, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
e faça um esboço do mesmo.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
e fazer um esboço dela. Para isso, vamos usar conceitos de limites e comportamento das funções. Vamos precisar entender o que são assíntotas e como identificá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a assíntota vertical. Ela ocorre onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero. Então, vamos resolver:
Isso significa que quando
, a função não existe e o gráfico se aproxima infinitamente desse ponto. Portanto, a assíntota vertical é a reta
.
Passo 3
Agora, vamos procurar a assíntota horizontal. Ela representa o comportamento da função quando
vai para mais ou menos infinito. Calculamos o limite da função quando
se aproxima de
e
:
Então, a função se aproxima de
quando
vai para infinito positivo ou negativo. Isso significa que a assíntota horizontal é a reta
(também conhecida como eixo
).
Passo 4
Por último, vamos fazer um esboço do gráfico. Sabemos que a função tem uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
. O gráfico será uma hipérbole que se aproxima dessas retas, dividindo o plano em dois ramos.
Resposta
A função
possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
. O esboço do gráfico é uma hipérbole que se aproxima dessas duas retas.