I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
usando os testes da primeira ou segunda derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima ou para baixo;
IV. Esboce o gráfico de
.
,
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
IV. Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com a função
. Os tópicos que vamos abordar são:
I. Intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo.
II. Encontrar os pontos de máximos e mínimos locais usando derivadas.
III. Identificar pontos de inflexão e onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo.
IV. Esboçar o gráfico da função.
II. Encontrar os pontos de máximos e mínimos locais usando derivadas.
III. Identificar pontos de inflexão e onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo.
IV. Esboçar o gráfico da função.
Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente as derivadas primeira e segunda da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de
para analisar os intervalos de crescimento e decrescimento. A derivada primeira nos mostra a taxa de variação da função.
A função é
.
Vamos derivar termo a termo:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde a derivada primeira é igual a zero para identificar possíveis pontos de máximo ou mínimo.
Resolvendo para
:
Então,
é um ponto crítico.
Passo 4
Vamos analisar o sinal da derivada primeira nos intervalos determinados pelo ponto crítico
:
- Para
: Escolha
A derivada é negativa, então a função está decrescente nesse intervalo.
- Para
: Escolha
A derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo.
Passo 5
Com base nisso,
é um ponto de mínimo local, porque a função muda de decrescente para crescente nesse ponto.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada segunda para analisar a concavidade e possíveis pontos de inflexão.
Derivando a derivada primeira:
Isso pode ser escrito como:
Passo 7
Vamos analisar a concavidade:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Como
é sempre positivo para
, temos que
para todo
. Portanto, a função é sempre côncava para cima, e não há pontos de inflexão.
Passo 8
Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função
:
- A função tem um mínimo local em
. - É decrescente para
e crescente para . - É côncava para cima em todo o domínio.
Resposta Final:
A função
possui um mínimo local em
. Ela é decrescente no intervalo
e crescente no intervalo
. O gráfico é côncavo para cima em todo seu domínio e não apresenta pontos de inflexão.
Exercícios relacionados
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de usando os testes da primeira ou segunda derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima ou para baixo;
IV. Esboce o gráfico de .
,
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
IV. Esboce o gráfico de
Determine os seguintes limites com o auxilio da Regra de L
,
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de usando os testes da primeira ou segunda derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima ou para baixo;
IV. Esboce o gráfico de .
,
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
IV. Esboce o gráfico de
Calcule os limites laterais da função no ponto indicado e descida se o limite da função existe no ponto. Faça um esboço do gráfico da função.
, em 0 ;