I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de f usando os testes da primeira ou segunda derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo;
IV. Esboce o gráfico de f.
f(x) = 2x - 3x^(2/3),

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com a função . Os tópicos que vamos abordar são:
I. Intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo.
II. Encontrar os pontos de máximos e mínimos locais usando derivadas.
III. Identificar pontos de inflexão e onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo.
IV. Esboçar o gráfico da função.
Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente as derivadas primeira e segunda da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira de para analisar os intervalos de crescimento e decrescimento. A derivada primeira nos mostra a taxa de variação da função.
A função é .
Vamos derivar termo a termo:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde a derivada primeira é igual a zero para identificar possíveis pontos de máximo ou mínimo.
Resolvendo para :
Então, é um ponto crítico.

Passo 4

Vamos analisar o sinal da derivada primeira nos intervalos determinados pelo ponto crítico :
  • Para : Escolha
A derivada é negativa, então a função está decrescente nesse intervalo.
  • Para : Escolha
A derivada é positiva, então a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Com base nisso, é um ponto de mínimo local, porque a função muda de decrescente para crescente nesse ponto.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada segunda para analisar a concavidade e possíveis pontos de inflexão.
Derivando a derivada primeira:
Isso pode ser escrito como:

Passo 7

Vamos analisar a concavidade:
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Como é sempre positivo para , temos que para todo . Portanto, a função é sempre côncava para cima, e não há pontos de inflexão.

Passo 8

Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função :
  • A função tem um mínimo local em .
  • É decrescente para e crescente para .
  • É côncava para cima em todo o domínio.
Resposta Final:
A função possui um mínimo local em . Ela é decrescente no intervalo e crescente no intervalo . O gráfico é côncavo para cima em todo seu domínio e não apresenta pontos de inflexão.

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I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de f usando os testes da primeira ou segunda derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo;
IV. Esboce o gráfico de f.
f(x) = (x^2 - 1)^2,
Determine os seguintes limites com o auxilio da Regra de L lim x +infty(ln x)^1 / x,
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de f usando os testes da primeira ou segunda derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo;
IV. Esboce o gráfico de f.
f(x) = e^x - 2 e^-x - 3 x,
Calcule os limites laterais da função no ponto indicado e descida se o limite da função existe no ponto. Faça um esboço do gráfico da função.
f(x) = -2, se x <= 0; 2, se x > 0, em 0 ;