I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de f usando os testes da primeira ou segunda derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo;
IV. Esboce o gráfico de f.
f(x) = e^x - 2 e^-x - 3 x,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo, focado em análise de funções. A função que vamos estudar é . A gente vai descobrir onde essa função está crescendo ou diminuindo, encontrar os pontos máximos e mínimos, identificar pontos de inflexão e entender a concavidade do gráfico. Por fim, vamos esboçar o gráfico dessa função. Para tudo isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir os intervalos onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada da função, que nos indica a taxa de variação da função.
A derivada de é , a derivada de é (porque a derivada de é e o coeficiente -2 multiplica por -1), e a derivada de é . Então, a primeira derivada fica:
Agora, vamos encontrar onde (crescimento) e onde (decrescimento). Para isso, precisamos resolver a equação :
Multiplicando todos os termos por para eliminar o :
Vamos chamar , então a equação fica:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, ou , o que significa que ou . Assim:
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos ( e ) para ver onde a função está crescendo ou decrescendo.

Passo 3

Vamos dividir a linha dos números reais em três intervalos com base nos pontos críticos encontrados: , e .
  1. Intervalo : Escolha :
    Então, a função está crescendo nesse intervalo.
  2. Intervalo : Escolha :
    Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
  3. Intervalo : Escolha :
    Então, a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos de máximos e mínimos locais usando a primeira derivada.
Sabemos que a função muda de crescimento para decrescimento em e de decrescimento para crescimento em . Isso nos indica que:
  • Em , a função passa de crescendo para decrescendo, então temos um máximo local.
  • Em , a função passa de decrescendo para crescendo, então temos um mínimo local.
Para encontrar as coordenadas desses pontos, vamos calcular e .
  1. Máximo em :
    Então, o ponto de máximo é .
  2. Mínimo em :
    Aproximando :
    Então, o ponto de mínimo é .

Passo 5

Vamos identificar os pontos de inflexão e determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada da função .
Começamos com a primeira derivada:
A segunda derivada é:
Para encontrar pontos de inflexão, resolvemos :
Multiplicando por :
Portanto, o ponto de inflexão ocorre em .
Agora, vamos analisar a concavidade nos intervalos determinados por esse ponto.
  1. Intervalo : Escolha :
    Então, o gráfico é côncavo para baixo nesse intervalo.
  2. Intervalo : Escolha :
    Então, o gráfico é côncavo para cima nesse intervalo.

Passo 6

Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função com base nas informações que obtivemos.
  1. Crescimento e Decrescimento:
    • Crescendo em e .
    • Decrescendo em .
  2. Pontos de Máximo e Mínimo:
    • Máximo local em .
    • Mínimo local em .
  3. Concavidade:
    • Côncavo para baixo em .
    • Côncavo para cima em .
    • Ponto de inflexão em .
Com esses elementos, podemos desenhar o gráfico:
  • O gráfico começa crescendo de , alcançando um máximo em .
  • Depois, decresce até , onde atinge um mínimo.
  • Em seguida, começa a crescer novamente para .
  • A concavidade muda de para baixo para para cima no ponto de inflexão .

Resposta

A função está crescendo nos intervalos e , e decrescendo em . Possui um máximo local em e um mínimo local em . O ponto de inflexão ocorre em , com o gráfico sendo côncavo para baixo antes desse ponto e côncavo para cima após ele. O esboço do gráfico reflete esses comportamentos.

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I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de f usando os testes da primeira ou segunda derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo;
IV. Esboce o gráfico de f.
f(x) = 2x - 3x^(2/3),
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de f usando os testes da primeira ou segunda derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo;
IV. Esboce o gráfico de f.
f(x) = (x^2 - 1)^2,
Calcule os limites laterais da função no ponto indicado e descida se o limite da função existe no ponto. Faça um esboço do gráfico da função.
f(x) = -2, se x <= 0; 2, se x > 0, em 0 ;
Calcule os limites laterais da função no ponto indicado e descida se o limite da função existe no ponto. Faça um esboço do gráfico da função.
f(x) = { |x-1|, se x < -1; 0, se x = -1; |1-x|, se x > -1 }, em -1 ;