I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
usando os testes da primeira ou segunda derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima ou para baixo;
IV. Esboce o gráfico de
.
,
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
IV. Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo, focado em análise de funções. A função que vamos estudar é
. A gente vai descobrir onde essa função está crescendo ou diminuindo, encontrar os pontos máximos e mínimos, identificar pontos de inflexão e entender a concavidade do gráfico. Por fim, vamos esboçar o gráfico dessa função. Para tudo isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a entender como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir os intervalos onde a função
está crescendo ou decrescendo. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada da função, que nos indica a taxa de variação da função.
A derivada de
é
, a derivada de
é
(porque a derivada de
é
e o coeficiente -2 multiplica por -1), e a derivada de
é
. Então, a primeira derivada fica:
Agora, vamos encontrar onde
(crescimento) e onde
(decrescimento). Para isso, precisamos resolver a equação
:
Multiplicando todos os termos por
para eliminar o
:
Vamos chamar
, então a equação fica:
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
ou
, o que significa que
ou
. Assim:
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos críticos (
e
) para ver onde a função está crescendo ou decrescendo.
Passo 3
Vamos dividir a linha dos números reais em três intervalos com base nos pontos críticos encontrados:
,
e
.
-
Intervalo
: Escolha : Então, a função está crescendo nesse intervalo. -
Intervalo
: Escolha : Então, a função está decrescendo nesse intervalo. -
Intervalo
: Escolha : Então, a função está crescendo nesse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos de máximos e mínimos locais usando a primeira derivada.
Sabemos que a função muda de crescimento para decrescimento em
e de decrescimento para crescimento em
. Isso nos indica que:
- Em
, a função passa de crescendo para decrescendo, então temos um máximo local. - Em
, a função passa de decrescendo para crescendo, então temos um mínimo local.
Para encontrar as coordenadas desses pontos, vamos calcular
e
.
-
Máximo em
: Então, o ponto de máximo é. -
Mínimo em
: Aproximando: Então, o ponto de mínimo é.
Passo 5
Vamos identificar os pontos de inflexão e determinar onde o gráfico é côncavo para cima ou para baixo. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada da função
.
Começamos com a primeira derivada:
A segunda derivada é:
Para encontrar pontos de inflexão, resolvemos
:
Multiplicando por
:
Portanto, o ponto de inflexão ocorre em
.
Agora, vamos analisar a concavidade nos intervalos determinados por esse ponto.
-
Intervalo
: Escolha : Então, o gráfico é côncavo para baixo nesse intervalo. -
Intervalo
: Escolha : Então, o gráfico é côncavo para cima nesse intervalo.
Passo 6
Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função
com base nas informações que obtivemos.
-
Crescimento e Decrescimento:
- Crescendo em
e . - Decrescendo em
.
- Crescendo em
-
Pontos de Máximo e Mínimo:
- Máximo local em
. - Mínimo local em
.
- Máximo local em
-
Concavidade:
- Côncavo para baixo em
. - Côncavo para cima em
. - Ponto de inflexão em
.
- Côncavo para baixo em
Com esses elementos, podemos desenhar o gráfico:
- O gráfico começa crescendo de
, alcançando um máximo em . - Depois, decresce até
, onde atinge um mínimo. - Em seguida, começa a crescer novamente para
. - A concavidade muda de para baixo para para cima no ponto de inflexão
.
Resposta
A função
está crescendo nos intervalos
e
, e decrescendo em
. Possui um máximo local em
e um mínimo local em
. O ponto de inflexão ocorre em
, com o gráfico sendo côncavo para baixo antes desse ponto e côncavo para cima após ele. O esboço do gráfico reflete esses comportamentos.
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I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de usando os testes da primeira ou segunda derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima ou para baixo;
IV. Esboce o gráfico de .
,
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
IV. Esboce o gráfico de
I. Intervalos de crescimento e decrescimento;
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de usando os testes da primeira ou segunda derivada;
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima ou para baixo;
IV. Esboce o gráfico de .
,
II. Os pontos de máximos e mínimos locais de
III. Pontos de inflexão e intervalos onde o gráfico de
IV. Esboce o gráfico de
Calcule os limites laterais da função no ponto indicado e descida se o limite da função existe no ponto. Faça um esboço do gráfico da função.
, em 0 ;
Calcule os limites laterais da função no ponto indicado e descida se o limite da função existe no ponto. Faça um esboço do gráfico da função.
, em -1 ;