Calcule os limites laterais da função no ponto indicado e descida se o limite da função existe no ponto. Faça um esboço do gráfico da função. -2 e em 2 ; ,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular os limites laterais da função nos pontos -2 e 2, verificar se o limite existe nesses pontos e, por fim, fazer um esboço do gráfico da função. A função está definida por partes, então vamos precisar entender sobre limites laterais e como trabalhar com funções definidas por intervalos distintos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite pela esquerda em f(x) = 2 . Isso significa que vamos ver o que acontece com limx to -2^- f(x) = 2 conforme se aproxima de -2 vindo dos valores menores que -2.
Para , a função é dada por:
Como é constante e igual a 2 nesse intervalo, ao nos aproximarmos de -2 pela esquerda, o valor de continua sendo 2.
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite pela direita em f(x) = raiz4 - x^2 . Aqui, observamos o que acontece com f(-2) = raiz4 - (-2)^2 = raiz4 - 4 = raiz0 = 0 conforme limx to -2^+ f(x) = 0 se aproxima de -2 vindo dos valores maiores que -2.
Para , a função é:
Substituindo :
Portanto:
Passo 4
Vamos verificar se o limite existe em limx to -2^- f(x) = 2 e limx to -2^+ f(x) = 0 . Para que o limite exista, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Temos:
Como 2 ≠ 0, o limite não existe em .
Passo 5
Agora, vamos calcular os limites laterais em f(x) = raiz4 - x^2 . Primeiro, o limite pela esquerda.
Para f(2) = raiz4 - 2^2 = raiz4 - 4 = raiz0 = 0 :
limx to 2^- f(x) = 0
Substituindo :
Então:
Passo 6
Agora, o limite pela direita em f(x) = -2 .
Para limx to 2^+ f(x) = -2 , a função é:
Como é constante e igual a -2 nesse intervalo, ao nos aproximarmos de 2 pela direita, o valor de continua sendo -2.
Então:
Passo 7
Vamos verificar se o limite existe em limx to 2^- f(x) = 0 e limx to 2^+ f(x) = -2 .
Temos:
Como 0 ≠ -2, o limite não existe em .
Passo 8
Por último, vamos fazer um esboço do gráfico da função.
Para : . Isso é uma linha reta horizontal no nível 2.
Para : . Essa é a parte superior de um círculo com raio 2 centrado na origem.
Para : . Outra linha reta horizontal, agora no nível -2.
Nos pontos de transição ( e ):
Em , a função “salta” de 2 para 0.
Em , a função desce de 0 para -2.
Isso resulta em descontinuidades nos pontos -2 e 2.
Resposta
Os limites laterais da função nos pontos indicados são:
Em limx to -2^- f(x) = 2 e limx to -2^+ f(x) = 0 :
limx to 2^- f(x) = 0 e limx to 2^+ f(x) = -2
O limite não existe em porque os limites laterais são diferentes.
Em :
O limite não existe em porque os limites laterais são diferentes.
Além disso, o esboço do gráfico mostra uma linha horizontal em 2 para , a parte superior de um círculo entre -2 e 2, e uma linha horizontal em -2 para , com descontinuidades nos pontos -2 e 2.