Calcule os limites laterais da função no ponto indicado e descida se o limite da função existe no ponto. Faça um esboço do gráfico da função.
f(x)=c2, se x<-2 raiz4-x^2, se -2 <= x <= 2 , em -2, se x>2-2 e em 2 ; ,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular os limites laterais da função nos pontos -2 e 2, verificar se o limite existe nesses pontos e, por fim, fazer um esboço do gráfico da função. A função está definida por partes, então vamos precisar entender sobre limites laterais e como trabalhar com funções definidas por intervalos distintos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite pela esquerda em f(x) = 2 . Isso significa que vamos ver o que acontece com limx to -2^- f(x) = 2 conforme se aproxima de -2 vindo dos valores menores que -2.
Para , a função é dada por:
Como é constante e igual a 2 nesse intervalo, ao nos aproximarmos de -2 pela esquerda, o valor de continua sendo 2.
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite pela direita em f(x) = raiz4 - x^2 . Aqui, observamos o que acontece com f(-2) = raiz4 - (-2)^2 = raiz4 - 4 = raiz0 = 0 conforme limx to -2^+ f(x) = 0 se aproxima de -2 vindo dos valores maiores que -2.
Para , a função é:
Substituindo :
Portanto:

Passo 4

Vamos verificar se o limite existe em limx to -2^- f(x) = 2 e limx to -2^+ f(x) = 0 . Para que o limite exista, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Temos:
Como 2 ≠ 0, o limite não existe em .

Passo 5

Agora, vamos calcular os limites laterais em f(x) = raiz4 - x^2 . Primeiro, o limite pela esquerda.
Para f(2) = raiz4 - 2^2 = raiz4 - 4 = raiz0 = 0 :
limx to 2^- f(x) = 0
Substituindo :
Então:

Passo 6

Agora, o limite pela direita em f(x) = -2 .
Para limx to 2^+ f(x) = -2 , a função é:
Como é constante e igual a -2 nesse intervalo, ao nos aproximarmos de 2 pela direita, o valor de continua sendo -2.
Então:

Passo 7

Vamos verificar se o limite existe em limx to 2^- f(x) = 0 e limx to 2^+ f(x) = -2 .
Temos:
Como 0 ≠ -2, o limite não existe em .

Passo 8

Por último, vamos fazer um esboço do gráfico da função.
  • Para : . Isso é uma linha reta horizontal no nível 2.
  • Para : . Essa é a parte superior de um círculo com raio 2 centrado na origem.
  • Para : . Outra linha reta horizontal, agora no nível -2.
  • Nos pontos de transição ( e ):
    • Em , a função “salta” de 2 para 0.
    • Em , a função desce de 0 para -2.
Isso resulta em descontinuidades nos pontos -2 e 2.

Resposta

Os limites laterais da função nos pontos indicados são:
  • Em limx to -2^- f(x) = 2 e limx to -2^+ f(x) = 0 :
    limx to 2^- f(x) = 0 e limx to 2^+ f(x) = -2
    O limite não existe em porque os limites laterais são diferentes.
  • Em :
    O limite não existe em porque os limites laterais são diferentes.
Além disso, o esboço do gráfico mostra uma linha horizontal em 2 para , a parte superior de um círculo entre -2 e 2, e uma linha horizontal em -2 para , com descontinuidades nos pontos -2 e 2.

Exercícios relacionados

Calcule os limites laterais da função no ponto indicado e descida se o limite da função existe no ponto. Faça um esboço do gráfico da função.
f(x) = { x + 4, se x <= -4; 4 - x, se x > -4 }, em -4 ;
Encontre, se existir, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f e faça um esboço do mesmo.
g(x) = 1/(x-1);
Em cada uma das funções a segui, ache os valores de a e b, de forma que o limite nos pontos indicado exista.
f(x) = { 2x - a, se x < -3; ax + 2b, se -3 <= x <= 3; b - 5x, se x > 3 }, em-2 e em 2 .
Encontre, se existir, as assíntotas verticais do gráfico da função f e faça um esboço do gráfico da função.
g(x) = -2 / (x + 3)^{2};