Calcule os limites laterais da função no ponto indicado e descida se o limite da função existe no ponto. Faça um esboço do gráfico da função.
, em 5 ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular os limites laterais da função
no ponto
. Isso envolve entender o que são limites laterais, como calcular cada um deles e verificar se o limite geral existe nesse ponto. Além disso, vamos precisar saber o que é a função piso (representada por
) e como ela se comporta ao redor de um ponto específico. Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa notação representa a função piso, que retorna o maior número inteiro menor ou igual a
. Por exemplo,
e
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre limites laterais. Quando calculamos o limite de uma função em um ponto, podemos olhar para o comportamento da função quando
se aproxima desse ponto pela esquerda (limite à esquerda) e pela direita (limite à direita). Se esses dois limites forem iguais, o limite geral existe e é igual a esse valor comum.
Passo 4
Vamos calcular o limite à esquerda de
em
. Isso significa que vamos olhar para valores de
que se aproximam de 5 vindo de números menores que 5 (como 4.9, 4.99, 4.999, etc.).
Como
pega o maior inteiro menor ou igual a
, para
muito próximo de 5 pela esquerda, o valor de
será 4. Por exemplo,
.
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite à direita de
em
. Isso significa que vamos olhar para valores de
que se aproximam de 5 vindo de números maiores que 5 (como 5.1, 5.01, 5.001, etc.).
Para
muito próximo de 5 pela direita,
é um pouco maior que 5, mas o maior inteiro menor ou igual a
continua sendo 5. Por exemplo,
.
Então,
Passo 6
Agora que temos os dois limites laterais, vamos verificar se o limite geral existe em
. Para o limite existir, os dois limites laterais precisam ser iguais.
Como 4 é diferente de 5, os limites laterais não são iguais, portanto, o limite geral de
em
não existe.
Passo 7
Por último, vamos fazer um esboço do gráfico da função
. A função piso é uma série de degraus horizontais que aumentam de altura em cada inteiro. No ponto
, há um salto de 4 para 5, já que o limite à esquerda é 4 e o limite à direita é 5. Assim, o gráfico terá um ponto aberto em
para 4 e um ponto fechado para 5.
Resposta
Os limites laterais de
em
são
pela esquerda e
pela direita. Como os limites laterais são diferentes, o limite da função em
não existe.