Calcule os limites laterais da função no ponto indicado e descida se o limite da função existe no ponto. Faça um esboço do gráfico da função. , em -2 ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular os limites laterais da função no ponto , verificar se o limite geral existe nesse ponto e fazer um esboço do gráfico da função.
Estamos lidando com uma função por partes, que muda sua expressão dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender limites laterais, que são os limites quando se aproxima de um valor por lados diferentes (da esquerda e da direita).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas partes da função:
Aqui, quando é menor ou igual a -2, usamos , e quando é maior que -2, usamos .
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda ():
Quando se aproxima de -2 pela esquerda, usamos a primeira parte da função .
Então, o limite pela esquerda é 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite pela direita ():
Quando se aproxima de -2 pela direita, usamos a segunda parte da função .
Então, o limite pela direita é 5.
Passo 5
Agora, vamos verificar se o limite geral existe no ponto .
Para que o limite geral exista, os limites laterais devem ser iguais. Aqui, temos:
Como 1 é diferente de 5, o limite geral não existe em .
Passo 6
Por fim, vamos fazer um esboço do gráfico da função.
Para , a função é , que é uma reta com inclinação 1 e intercepto em 3.
Para , a função é , que é uma reta com inclinação -1 e intercepto em 3.
No ponto :
A função recebe o valor da primeira parte: .
Então, no gráfico, teremos duas retas que se encontram em com valores diferentes, formando um “salto”.
Resposta
Os limites laterais da função em são:
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral da função não existe em . O esboço do gráfico mostra duas retas que se encontram com um salto em .