Calcule os limites laterais da função no ponto indicado e descida se o limite da função existe no ponto. Faça um esboço do gráfico da função.
f(x) = { 2x + 3, se x < 1; 4, se x = 1; x^2 + 2, se x > 1 }, em 1 ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os limites laterais da função no ponto e ver se o limite geral existe nesse ponto. A função está definida de três maneiras diferentes dependendo de : para , para e para . Vamos precisar entender o que são limites laterais e como calcular cada um deles usando as expressões dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite pela esquerda, que é o que acontece quando se aproxima de 1 vindo dos valores menores que 1, ou seja, . A expressão da função para é . Então, para encontrar o limite pela esquerda, a gente substitui por 1 nessa expressão:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite pela direita, que é o que acontece quando se aproxima de 1 vindo dos valores maiores que 1, ou seja, . A expressão da função para é . Então, para encontrar o limite pela direita, substituímos por 1 nessa expressão:

Passo 4

Com os limites laterais calculados, vamos verificar se o limite geral existe no ponto . Para isso, os dois limites laterais devem ser iguais. Mas, no nosso caso:
Como 5 não é igual a 3, o limite geral não existe em .

Passo 5

Agora, vamos fazer um esboço do gráfico da função .
  1. Para : A função é , que é uma reta com inclinação 2 e intercepto 3.
  2. Para : O valor da função é , então temos um ponto fechado nesse ponto.
  3. Para : A função é , que é uma parábola voltada para cima.
Observações no gráfico:
  • O limite pela esquerda é 5, mas o valor real em é 4.
  • O limite pela direita é 3.
  • Como os limites laterais são diferentes, há uma descontinuidade em .

Resposta

Os limites laterais da função no ponto são:
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral da função não existe em .

Exercícios relacionados

Encontre, se existir, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f e faça um esboço do mesmo.
g(x) = (x + 3) / raiz(x^2 - 9).
Encontre, se existir, as assíntotas verticais do gráfico da função f e faça um esboço do gráfico da função.
f(x) = 2/(2 x + 1);
Calcule os limites laterais da função no ponto indicado e descida se o limite da função existe no ponto. Faça um esboço do gráfico da função.
f(x)=[[x-3]] em 4 .
Ache, se existir, o limite indicado.
lim x 0^+ raiz3+x^2x;