Calcule os limites laterais da função no ponto indicado e descida se o limite da função existe no ponto. Faça um esboço do gráfico da função. , em 1 ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os limites laterais da função no ponto e ver se o limite geral existe nesse ponto. A função está definida de três maneiras diferentes dependendo de : para , para e para . Vamos precisar entender o que são limites laterais e como calcular cada um deles usando as expressões dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite pela esquerda, que é o que acontece quando se aproxima de 1 vindo dos valores menores que 1, ou seja, . A expressão da função para é . Então, para encontrar o limite pela esquerda, a gente substitui por 1 nessa expressão:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite pela direita, que é o que acontece quando se aproxima de 1 vindo dos valores maiores que 1, ou seja, . A expressão da função para é . Então, para encontrar o limite pela direita, substituímos por 1 nessa expressão:
Passo 4
Com os limites laterais calculados, vamos verificar se o limite geral existe no ponto . Para isso, os dois limites laterais devem ser iguais. Mas, no nosso caso:
Como 5 não é igual a 3, o limite geral não existe em .
Passo 5
Agora, vamos fazer um esboço do gráfico da função .
Para : A função é , que é uma reta com inclinação 2 e intercepto 3.
Para : O valor da função é , então temos um ponto fechado nesse ponto.
Para : A função é , que é uma parábola voltada para cima.
Observações no gráfico:
O limite pela esquerda é 5, mas o valor real em é 4.
O limite pela direita é 3.
Como os limites laterais são diferentes, há uma descontinuidade em .
Resposta
Os limites laterais da função no ponto são:
Como os limites laterais são diferentes, o limite geral da função não existe em .