Encontre, se existir, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
e faça um esboço do mesmo.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
e fazer um esboço dela. Para isso, vamos precisar entender sobre assíntotas, que são linhas que o gráfico se aproxima mas nunca toca. Vamos analisar as possíveis assíntotas horizontais e verticais usando conceitos de limites e comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar onde a função está definida. O denominador é
, que só é real quando
. Isso significa que
ou
. Então, a função só existe para
nessas regiões.
Passo 3
Agora, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador se aproxima de zero, já que a função pode ficar muito grande nesses pontos. Olhando para
, vemos que ele se aproxima de zero quando
se aproxima de
ou de
. Portanto, podemos ter assíntotas verticais em
e
. Vamos confirmar isso verificando os limites nessas pontas:
Isso confirma que há assíntotas verticais em
e
.
Passo 4
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais, que são os valores que a função se aproxima quando
vai para mais infinito positivo ou negativo. Calculamos os limites:
Para simplificar, dividimos o numerador e o denominador por
:
Então, a função se aproxima de 1 quando
vai para mais ou menos infinito. Portanto, há uma assíntota horizontal em
.
Passo 5
Por último, vamos resumir tudo e fazer um esboço mental do gráfico:
- A função está definida para
e . - Há assíntotas verticais em
e . - Há uma assíntota horizontal em
.
Então, o gráfico terá duas ramos separados por essas linhas verticais, e ambos se aproximarão da linha horizontal
conforme
vai para infinito positivo ou negativo.
Resposta
A função
possui assíntotas verticais em
e
, e uma assíntota horizontal em
. O esboço do gráfico apresenta dois ramos separados por
e
, ambos se aproximando da linha
conforme
vai para mais ou menos infinito.