Encontre, se existir, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função e faça um esboço do mesmo. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função e fazer um esboço dela. Para isso, vamos precisar entender sobre assíntotas, que são linhas que o gráfico se aproxima mas nunca toca. Vamos analisar as possíveis assíntotas horizontais e verticais usando conceitos de limites e comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar onde a função está definida. O denominador é , que só é real quando . Isso significa que ou . Então, a função só existe para nessas regiões.
Passo 3
Agora, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador se aproxima de zero, já que a função pode ficar muito grande nesses pontos. Olhando para , vemos que ele se aproxima de zero quando se aproxima de ou de . Portanto, podemos ter assíntotas verticais em e . Vamos confirmar isso verificando os limites nessas pontas:
Isso confirma que há assíntotas verticais em e .
Passo 4
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais, que são os valores que a função se aproxima quando vai para mais infinito positivo ou negativo. Calculamos os limites:
Para simplificar, dividimos o numerador e o denominador por :
Então, a função se aproxima de 1 quando vai para mais ou menos infinito. Portanto, há uma assíntota horizontal em .
Passo 5
Por último, vamos resumir tudo e fazer um esboço mental do gráfico:
A função está definida para e .
Há assíntotas verticais em e .
Há uma assíntota horizontal em .
Então, o gráfico terá duas ramos separados por essas linhas verticais, e ambos se aproximarão da linha horizontal conforme vai para infinito positivo ou negativo.
Resposta
A função possui assíntotas verticais em e , e uma assíntota horizontal em . O esboço do gráfico apresenta dois ramos separados por e , ambos se aproximando da linha conforme vai para mais ou menos infinito.