Encontre, se existir, as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função f e faça um esboço do mesmo.
g(x) = (x + 3) / raiz(x^2 - 9).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função e fazer um esboço dela. Para isso, vamos precisar entender sobre assíntotas, que são linhas que o gráfico se aproxima mas nunca toca. Vamos analisar as possíveis assíntotas horizontais e verticais usando conceitos de limites e comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar onde a função está definida. O denominador é , que só é real quando . Isso significa que ou . Então, a função só existe para nessas regiões.

Passo 3

Agora, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador se aproxima de zero, já que a função pode ficar muito grande nesses pontos. Olhando para , vemos que ele se aproxima de zero quando se aproxima de ou de . Portanto, podemos ter assíntotas verticais em e . Vamos confirmar isso verificando os limites nessas pontas:
Isso confirma que há assíntotas verticais em e .

Passo 4

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais, que são os valores que a função se aproxima quando vai para mais infinito positivo ou negativo. Calculamos os limites:
Para simplificar, dividimos o numerador e o denominador por :
Então, a função se aproxima de 1 quando vai para mais ou menos infinito. Portanto, há uma assíntota horizontal em .

Passo 5

Por último, vamos resumir tudo e fazer um esboço mental do gráfico:
  • A função está definida para e .
  • Há assíntotas verticais em e .
  • Há uma assíntota horizontal em .
Então, o gráfico terá duas ramos separados por essas linhas verticais, e ambos se aproximarão da linha horizontal conforme vai para infinito positivo ou negativo.

Resposta

A função possui assíntotas verticais em e , e uma assíntota horizontal em . O esboço do gráfico apresenta dois ramos separados por e , ambos se aproximando da linha conforme vai para mais ou menos infinito.

Exercícios relacionados

Encontre, se existir, as assíntotas verticais do gráfico da função f e faça um esboço do gráfico da função.
f(x) = 2/(2 x + 1);
Ache, se existir, o limite indicado.
lim x 1^- raiz2 x^3-5 x^2x^2-1;
Calcule os limites laterais da função no ponto indicado e descida se o limite da função existe no ponto. Faça um esboço do gráfico da função.
f(x) = { 2x + 3, se x < 1; 4, se x = 1; x^2 + 2, se x > 1 }, em 1 ;
Calcule os limites laterais da função no ponto indicado e descida se o limite da função existe no ponto. Faça um esboço do gráfico da função.
f(x)=[[x-3]] em 4 .