Calcule os limites laterais lim x p^- f(x) e lim x p^+ f(x). Em seguida, verifique se é possível escrever um resultado único para lim x p f(x).
(h) f(x)=-x^2+6 x-5|x^2-3 x-10| ; p=-2

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado juntos! Precisamos calcular os limites laterais da função quando se aproxima de tanto pela esquerda quanto pela direita. Depois, vamos verificar se dá para definir um limite único para . Para isso, vamos usar conceitos de limites e como trabalhar com valores absolutos nas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular limites laterais. O limite pela esquerda, , considera valores de que se aproximam de vindo dos menores valores (à esquerda). Já o limite pela direita, , usa valores de que se aproximam de vindo dos maiores valores (à direita).

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda: x^2 - 3x - 10 = (-2)^2 - 3(-2) - 10 = 4 + 6 - 10 = 0 .
Primeiro, substituímos f(x) = -x^2 + 6x - 5(5 - x)(-x - 2) na função sem o valor absoluto:
limx to -2^- f(x) = -(-2)^2 + 6(-2) - 5(5 - (-2))(-(-2) - 2) = -4 -12 -57 cdot 0 = -210^- = -infty
Como o denominador fica zero, precisamos analisar o comportamento próximo a .
Para aproximando de pela esquerda ( ):
  • O termo será negativo.
  • Portanto, (já que ).
A função fica:
Calculando o limite:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite pela direita: f(x) = -x^2 + 6x - 5(5 - x)(x + 2) .
Para limx to -2^+ f(x) = -(-2)^2 + 6(-2) - 5(5 - (-2))( -2 + 2) = -4 -12 -57 cdot 0^+ = -210^+ = -infty aproximando de pela direita ( ):
  • O termo será positivo.
  • Portanto, (já que ).
A função fica:
Calculando o limite:

Passo 5

Agora que temos os limites laterais:
limx to -2^- f(x) = -infty e limx to -2^+ f(x) = -infty
Como ambos os limites laterais são iguais e tendem a , podemos afirmar que o limite geral também é .

Resposta

limx to -2^- f(x) = -infty, limx to -2^+ f(x) = -infty
Como os limites laterais são iguais, podemos escrever:
limx to -2 f(x) = -infty

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