Calcule os limites laterais lim x p^- f(x) e lim x p^+ f(x). Em seguida, verifique se é possível escrever um resultado único para lim x p f(x).
(b) f(x)=x+6x^2-36 ; p=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular os limites laterais de uma função no ponto . Depois, vamos ver se dá pra ter um limite único quando se aproxima de 6. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites laterais e como eles ajudam a determinar se um limite existe de forma única.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função para facilitar os cálculos dos limites. Observamos que o denominador x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6) é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
f(x) = x + 6(x - 6)(x + 6) = 1x - 6
Então, a função fica:
Isso simplifica bastante a nossa vida, porque agora a função é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite lateral esquerdo, ou seja, quando limx to 6^- f(x) = limx to 6^- 1x - 6 se aproxima de 6 vindo pela esquerda (valores menores que 6). Vamos ver o que acontece com nesse caso:
Quando se aproxima de 6 pela esquerda, é um número negativo que se aproxima de zero. Então, vai para .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite lateral direito, ou seja, quando limx to 6^+ f(x) = limx to 6^+ 1x - 6 se aproxima de 6 vindo pela direita (valores maiores que 6):
Quando se aproxima de 6 pela direita, é um número positivo que se aproxima de zero. Então, vai para .

Passo 5

Agora que temos os dois limites laterais:
limx to 6^- f(x) = -infty
limx to 6^+ f(x) = +infty
Como os limites laterais são diferentes (um tende para menos infinito e o outro para mais infinito), não é possível escrever um limite único para .

Resposta

Os limites laterais são:
limx to 6^- f(x) = -infty e limx to 6^+ f(x) = +infty
Como os limites laterais não são iguais, não existe um limite único para .

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