Encontre os limites das funções com radicais.
(f) lim x 0 raiz1+2 x-raiz3 x+15 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite envolvendo radicais. O exercício pede para encontrar o limite da função quando se aproxima de 0. Para isso, vamos precisar usar propriedades de limites e técnicas de racionalização para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz1+2(0) - raiz3(0) +15(0) = raiz1 - raiz10 = 00 diretamente na função:
Isso resulta em uma forma indeterminada , então precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Para eliminar as raízes no numerador, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador. O conjugado de raiz1+2x - raiz3x +15x times raiz1+2x + raiz3x +1raiz1+2x + raiz3x +1 é . Assim, temos:

Passo 4

Ao multiplicar os numeradores, aplicamos a diferença de quadrados:
(raiz1+2x)^2 - (raiz3x +1)^2 = (1 + 2x) - (1 + 3x) = 1 + 2x -1 -3x = -x
Então, a expressão fica:
-x5x (raiz1+2x + raiz3x +1)

Passo 5

Podemos simplificar o -15 (raiz1+2x + raiz3x +1) do numerador com o do denominador:
Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 0.

Passo 6

Substituindo -15 (raiz1+0 + raiz1+0) = -15 (1 + 1) = -110 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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