Encontre os limites das funções com radicais.
(d) lim x 2^- 2-xraizx+2-2

Passo 1

Vamos entender o enunciado: precisamos encontrar o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda. Isso envolve conceitos de limites e funções com radicais. Para resolver, vamos manipular a expressão para eliminar o radical no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 2 - 2raiz2 + 2 - 2 = 0raiz4 - 2 = 02 - 2 = 00 diretamente na função para ver o que acontece:
Obtemos uma indeterminação do tipo , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para eliminar o radical no denominador, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do denominador, que é 2 - xraizx + 2 - 2 times raizx + 2 + 2raizx + 2 + 2 = (2 - x)(raizx + 2 + 2)(raizx + 2)^2 - 2^2 . Isso ajuda a remover o radical usando a identidade .

Passo 4

Simplificamos o denominador usando a identidade mencionada:
(raizx + 2)^2 - 4 = x + 2 - 4 = x - 2
Então, a expressão fica:
(2 - x)(raizx + 2 + 2)x - 2

Passo 5

Observamos que -(x - 2)(raizx + 2 + 2)x - 2 = -(raizx + 2 + 2) é o mesmo que . Substituindo isso na expressão, temos:
Agora, o no numerador e no denominador cancelam, desde que , o que é válido para limites.

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite substituindo - (raiz2 + 2 + 2) = - (raiz4 + 2) = - (2 + 2) = -4 :

Resposta

O limite é .

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