Calcule os limites laterais lim x p^- f(x) e lim x p^+ f(x). Em seguida, verifique se é possível escrever um resultado único para lim x p f(x).
(j) f(x)=2 x^2+3 x+14 x^2+4 x+1 ; p=-12

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer nesse exercício é calcular os limites laterais de uma função quando se aproxima de . Ou seja, vamos ver o que acontece com quando chega por valores menores que (limite à esquerda) e por valores maiores que (limite à direita). Depois, a gente vai verificar se dá para ter um único resultado para o limite geral quando se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são limites laterais. O limite à esquerda ( ) nos mostra o valor que está se aproximando quando vem de números menores que . Já o limite à direita ( ) mostra o que se aproxima quando vem de números maiores que .

Passo 3

Vamos calcular o limite à esquerda:
limx to -12^- 2x^2 + 3x + 14x^2 + 4x + 1
Primeiro, substituímos 4x^2 + 4x + 1 = (2x + 1)^2 por valores próximos a f(x) = 2x^2 + 3x + 1(2x + 1)^2 vindo da esquerda. Mas antes, vamos simplificar a expressão.
O denominador 2(-12)^2 + 3(-12) + 1 = 2(14) - 32 + 1 = 12 - 32 + 1 = 0 pode ser fatorado:
Então, a função vira:
Agora, vamos substituir :
O numerador também dá zero, então temos uma indeterminação do tipo . Para resolver, podemos simplificar mais a função.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador para ver se podemos cancelar alguma parte com o denominador:
2x^2 + 3x + 1 = (2x + 1)(x + 1)
Agora, a função fica:
f(x) = (2x + 1)(x + 1)(2x + 1)^2 = x + 12x + 1
Agora, podemos calcular o limite.
Para limx to -12^- 12número muito pequeno e negativo = -infty :
Substituindo por valores ligeiramente menores que , o denominador vai se aproximar de zero pelo lado negativo, já que . O numerador será .
Então, o limite à esquerda será:
ú

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite à direita:
limx to -12^+ x + 12x + 1
Substituindo limx to -12^+ 12número muito pequeno e positivo = +infty por valores ligeiramente maiores que , o denominador vai se aproximar de zero pelo lado positivo. O numerador continua sendo .
Então, o limite à direita será:
ú

Resposta

Os limites laterais são:
limx to -12^- f(x) = -infty e limx to -12^+ f(x) = +infty
Como os limites laterais não são iguais, não é possível escrever um único resultado para .

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