Encontre os limites das funções com radicais.
(j) lim x 1 raizx^2+1-raizx^2+2 x-1x^2+2 x-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício trata de limites envolvendo radicais. Para resolver, vamos precisar manipular expressões algébricas e racionalizar o numerador.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz1^2+1-raiz1^2+2 cdot 1-11^2+2 cdot 1-3 = raiz2 - raiz20 = 00 diretamente na expressão para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos racionalizar o numerador. Para isso, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, que é raizx^2+1-raizx^2+2 x-1x^2+2 x-3 cdot raizx^2+1+raizx^2+2x-1raizx^2+1+raizx^2+2x-1 :

Passo 4

Multiplicando o numerador:
(raizx^2+1 - raizx^2+2x-1)(raizx^2+1 + raizx^2+2x-1) = (x^2+1) - (x^2+2x-1) = 2 - 2x
No denominador, temos:
(x^2+2x-3)(raizx^2+1 + raizx^2+2x-1)

Passo 5

Simplificando a expressão:
2 - 2x(x^2+2x-3)(raizx^2+1 + raizx^2+2x-1)
Podemos fatorar o numerador e o denominador:
2 - 2x = 2(1 - x) = -2(x - 1)
x^2+2x-3 = (x + 3)(x - 1)
Então:
-2(x - 1)(x + 3)(x - 1)(raizx^2+1 + raizx^2+2x-1)

Passo 6

Agora, podemos cancelar o termo -2(x + 3)(raizx^2+1 + raizx^2+2x-1) presente no numerador e no denominador:

Passo 7

Finalmente, substituímos -2(1 + 3)(raiz1^2+1 + raiz1^2+2 cdot 1-1) = -24(raiz2 + raiz2) = -28raiz2 = -14raiz2 na expressão simplificada:
-14raiz2 cdot raiz2raiz2 = -raiz28
Para deixar a resposta racionalizada, multiplicamos o numerador e o denominador por :

Resposta

limx 1 raizx^2+1-raizx^2+2 x-1x^2+2 x-3 = -raiz28

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