Calcule os limites laterais: lim x 1^- f(x)-f(1)x-1 onde
f(x)=c 3 x-1 se x>1 x^2 se x <= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite lateral à esquerda de uma função que é definida de duas formas diferentes, dependendo do valor de . O limite que queremos é . Vamos precisar saber como a função se comporta perto de e usar conceitos de limites e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x) = 3x - 1 & se x > 1, x^2 & se x <= 1 . Ela é definida assim:
Como estamos procurando o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ), a parte da função que interessa é .

Passo 3

Vamos substituir limx 1^- f(x) - f(1)x - 1 = limx 1^- x^2 - 1x - 1 e na expressão do limite. Sabemos que . Então:

Passo 4

Simplificamos a expressão x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) . O numerador pode ser fatorado como uma diferença de quadrados:
(x - 1)(x + 1)x - 1 = x + 1 (para x neq 1)
Então, temos:

Passo 5

Agora, calculamos o limite de limx 1^- (x + 1) = 1 + 1 = 2 quando se aproxima de 1:

Resposta

O limite é .

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