Calcule os seguintes limites usando o Teorema do Confronto:
a) lim x 0 x^2 sen(1x^2)

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite usando o Teorema do Confronto. Esse teorema é muito útil quando você consegue “prender” a função que você quer analisar entre duas outras funções cujo limite você já conhece.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma propriedade básica do seno: para qualquer número real -1 <= sen(u) <= 1 , sabemos que:

Passo 3

No nosso caso, -1 <= sen(1x^2) <= 1 . Então, substituindo na desigualdade, temos:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar todos os lados dessa desigualdade por - x^2 <= x^2 sen(1x^2) <= x^2 . Como é sempre positivo (não importa o valor de ), a direção das desigualdades permanece a mesma:

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o limite de limx 0 -x^2 = 0 e limx 0 x^2 = 0 e de quando tende a 0:

Passo 6

Pelo Teorema do Confronto, se uma função está entre duas outras que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite. Assim, já que está entre limx 0 x^2 sen(1x^2) = 0 e , e ambos os limites são 0, concluímos que:

Resposta

O limite é 0.

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