Calcule os seguintes limites usando o Teorema do Confronto: lim x 0 raiz[3]x 2^sen(1x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . O conteúdo principal aqui é Cálculo de Limites usando o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sanduíche). Para resolver isso, vamos precisar entender como o valor de se comporta quando se aproxima de 0 e como isso afeta a expressão inteira.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte da função que envolve o seno: -1 <= sin(1x^2) <= 1 . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
2^-1 <= 2^sin(1x^2) <= 2^1
Isso significa que o expoente de 2 na expressão original está limitado:
12 <= 2^sin(1x^2) <= 2
Simplificando os valores de 2 elevados a -1 e 1, temos:

Passo 3

Agora, multiplicamos todas as partes dessa desigualdade por 12 cdot x^1/3 <= raiz[3]x cdot 2^sin(1x^2) <= 2 cdot x^1/3 (que é limx to 0 12 cdot x^1/3 = 0 e limx to 0 2 cdot x^1/3 = 0 ):
Sabemos que, conforme se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Portanto, os limites das expressões da esquerda e da direita da desigualdade são ambos 0:

Resposta

Portanto, pelo Teorema do Confronto, o limite é:
0

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