Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe uma raiz da equação no intervalo especificado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Cálculo, especificamente usando o Teorema do Valor Intermediário. A ideia aqui é provar que a equação
tem pelo menos uma solução (ou raiz) no intervalo entre 0 e 1. Para isso, vamos precisar definir uma função que representa essa equação e analisar seus valores nos extremos do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para formar uma função contínua. Podemos fazer isso subtraindo
de ambos os lados:
Agora, queremos analisar o comportamento dessa função nos pontos
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
E agora
:
Passo 4
Observamos que:
- Em
, - Em
,
O Teorema do Valor Intermediário diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado
e assume valores de sinais opostos nos extremos desse intervalo, então existe pelo menos um ponto
em
onde
. No nosso caso,
é contínua em
e muda de 0 para -1.
Resposta
Portanto, existe pelo menos uma raiz da equação
no intervalo
.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites usando o Teorema do Confronto:
Calcule os limites laterais:
onde
Encontre os valores da constante
para os quais a função
é contínua:
Seja
: Para quais valores de
existe