Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe uma raiz da equação no intervalo especificado: raiz(cubica(x)) = 2 x (0,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Cálculo, especificamente usando o Teorema do Valor Intermediário. A ideia aqui é provar que a equação tem pelo menos uma solução (ou raiz) no intervalo entre 0 e 1. Para isso, vamos precisar definir uma função que representa essa equação e analisar seus valores nos extremos do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para formar uma função contínua. Podemos fazer isso subtraindo de ambos os lados:
Agora, queremos analisar o comportamento dessa função nos pontos x = 0 e x = 1.

Passo 3

Vamos calcular f(0):
E agora f(1):

Passo 4

Observamos que:
  • Em x = 0,
  • Em x = 1,
O Teorema do Valor Intermediário diz que se uma função é contínua em um intervalo fechado [a, b] e assume valores de sinais opostos nos extremos desse intervalo, então existe pelo menos um ponto c em (a, b) onde . No nosso caso, f(x) é contínua em [0,1] e muda de 0 para -1.

Resposta

Portanto, existe pelo menos uma raiz da equação no intervalo 0,1.

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