Calcule os limites laterais lim x p^- f(x) e lim x p^+ f(x). Em seguida, verifique se é possível escrever um resultado único para lim x p f(x).
(g) f(x)=3-xx^2-2 x-8 ; p=4

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos calcular os limites laterais quando se aproxima de , ou seja, e . Depois disso, vamos verificar se existe um limite único para . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de limites laterais e como calcular cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando f(x) = 3 - xx^2 - 2x - 8 se aproxima de 4 pela esquerda, que é x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) . Isso significa que estamos olhando para valores de f(x) = 3 - x(x - 4)(x + 2) que estão ligeiramente menores que 4.
Substituindo limx to 4^- f(x) = -10^- times 6 = -10^- = +infty por valores próximos a 4 na função:
Calculando o denominador:
Então, a função fica:
Agora, vamos analisar o comportamento quando se aproxima de 4 pela esquerda:
  • O numerador: quando se aproxima de 4 pela esquerda, .
  • O denominador: se aproxima de 0 negativo, já que , e se aproxima de 6.
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando f(x) = 3 - x(x - 4)(x + 2) se aproxima de 4 pela direita, que é limx to 4^+ f(x) = -10^+ times 6 = -10^+ = -infty . Isso significa que estamos olhando para valores de que estão ligeiramente maiores que 4.
Usando a mesma função simplificada:
Analisando o comportamento quando se aproxima de 4 pela direita:
  • O numerador: quando se aproxima de 4 pela direita, .
  • O denominador: se aproxima de 0 positivo, já que , e se aproxima de 6.
Portanto:

Passo 4

Agora que temos os limites laterais, vamos verificar se conseguimos definir um limite único para limx to 4^- f(x) = +infty e limx to 4^+ f(x) = -infty .
Sabemos que, para existir um limite único, os limites laterais devem ser iguais. No nosso caso:
Como eles são diferentes (um vai para mais infinito e o outro para menos infinito), não é possível definir um limite único para .

Resposta

Os limites laterais são:
limx to 4^- f(x) = +infty
limx to 4^+ f(x) = -infty
Como os limites laterais não são iguais, não é possível escrever um resultado único para .

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