Encontre os limites no infinito.
(i) lim x -infty x-2x^2-5 x+14

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar o limite quando tende a menos infinito da função . Estamos trabalhando com cálculo de limites no infinito, e para isso vamos precisar entender como os termos de maiores potências de influenciam o comportamento da função conforme vai para .

Passo 2

Primeiro, olhamos para a função que queremos analisar:
x - 2x^2 - 5x + 14
Para encontrar o limite quando vai para , é útil identificar quais termos da função dominam conforme cresce em magnitude negativa.

Passo 3

No numerador, temos . Aqui, o termo cresce sem limite quando vai para , enquanto o é uma constante e se torna menos relevante na comparação.

Passo 4

No denominador, temos . O termo de maior grau aqui é , que, mesmo para negativo, sempre será positivo e cresce sem limite à medida que vai para . Os demais termos, e , tornam-se menos significativos comparados a .

Passo 5

Agora, para simplificar a expressão e facilitar o cálculo do limite, vamos dividir tanto o numerador quanto o denominador pelo termo de maior potência presente no denominador, que é xx^2 - 2x^2x^2x^2 - 5xx^2 + 14x^2 = 1x - 2x^21 - 5x + 14x^2 :

Passo 6

Agora, analisamos o comportamento de cada termo conforme tende a :
  • tende a 0, pois fica muito grande em magnitude.
  • também tende a 0, já que cresce ainda mais rápido.
  • No denominador, tende a 0 e tende a 0 também.

Passo 7

Substituindo essas aproximações na expressão simplificada:
0 - 01 - 0 + 0 = 01 = 0

Resposta

O limite quando tende a de é 0.

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