Encontre os limites das funções com radicais.
(i) lim x 8^+ raiz2 x+9-5x^2-6 x-16

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite da função com radicais que é o seguinte:
limx 8^+ raiz2x + 9 - 5x^2 - 6x - 16
Aqui, vamos usar conceitos de limites e manipulação de expressões com radicais. Precisamos simplificar a expressão para encontrar o valor quando se aproxima de 8 pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos avaliar diretamente substituindo raiz2(8) + 9 - 5 = raiz16 + 9 - 5 = raiz25 - 5 = 5 - 5 = 0 na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite diretamente.
No numerador:
8^2 - 6(8) - 16 = 64 - 48 - 16 = 0
No denominador:
Obtemos uma indeterminação do tipo . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Para resolver essa indeterminação, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar e dividir a expressão pelo conjugado do numerador para eliminar o radical. O conjugado de raiz2x + 9 - 5x^2 - 6x - 16 times raiz2x + 9 + 5raiz2x + 9 + 5 = (raiz2x + 9)^2 - 5^2(x^2 - 6x - 16)(raiz2x + 9 + 5) é 2x + 9 - 25(x^2 - 6x - 16)(raiz2x + 9 + 5) = 2x - 16(x^2 - 6x - 16)(raiz2x + 9 + 5) .
Multiplicamos o numerador e o denominador por :
Simplificando o numerador usando a identidade :

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - 6x - 16 = (x - 8)(x + 2) . Procuramos dois números que multiplicados dão -16 e somados dão -6. Esses números são -8 e 2.
Então:
2x - 16(x - 8)(x + 2)(raiz2x + 9 + 5) = 2(x - 8)(x - 8)(x + 2)(raiz2x + 9 + 5)
Substituindo na expressão, temos:
2(x + 2)(raiz2x + 9 + 5)
Podemos cancelar o termo no numerador e denominador:

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos substituir 2(8 + 2)(raiz2(8) + 9 + 5) = 210 (raiz25 + 5) = 210 (5 + 5) = 210 times 10 = 2100 = 150 sem obter indeterminação:

Resposta

limx 8^+ raiz2x + 9 - 5x^2 - 6x - 16 = 150

Exercícios relacionados