Calcule os limites: lim x 1 x^3-4 x^2+5 x-2x^3-2 x^2+x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos calcular o limite quando se aproxima de 1 para a expressão . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de limites e fatoração de polinômios.

Passo 2

Vamos tentar substituir 1^3 - 4 cdot 1^2 + 5 cdot 1 - 2 = 1 - 4 + 5 - 2 = 0 diretamente na expressão para ver se conseguimos encontrar o limite facilmente.
Substituindo na numerador:
1^3 - 2 cdot 1^2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0
Substituindo no denominador:
Como obtemos , que é uma forma indeterminada, precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o polinômio do numerador 1^3 - 4 cdot 1^2 + 5 cdot 1 - 2 = 0 . Para isso, tentamos encontrar raízes racionais que tornam o polinômio igual a zero. Testando x^3-4x^2+5x-2 = (x - 1)(x^2 - 3x + 2) :
Portanto, é um fator. Usando a divisão sintética, fatoramos o numerador:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador x^3-2x^2+x = x(x^2 - 2x + 1) . Primeiro, tiramos um fator comum de x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 :
x(x - 1)^2
O termo quadrático pode ser fatorado como:
Então, o denominador fica:

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
(x - 1)(x^2 - 3x + 2)x(x - 1)^2 = x^2 - 3x + 2x(x - 1)
Aqui, cancelamos um do numerador e denominador.

Passo 6

Agora, vamos fatorar novamente o numerador x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) :
(x - 1)(x - 2)x(x - 1) = x - 2x
Substituindo de volta, temos:
Mais uma vez, cancelamos o .

Passo 7

Agora, podemos calcular o limite substituindo 1 - 21 = -11 = -1 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é igual a .

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