Encuentra en cada caso la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
con
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
com a condição inicial
.
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem e não linear. Para resolver, vamos usar o método de Bernoulli, que é ótimo para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para encaixar na forma padrão da equação de Bernoulli:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, identificamos:
Passo 3
O próximo passo no método de Bernoulli é fazer uma substituição para linearizar a equação. Definimos:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
da equação original na expressão de
:
Simplificando:
Agora, temos uma equação linear em termos de
:
Passo 5
Vamos resolver essa equação linear usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
:
Lembrando que
, então:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução particular da equação diferencial é:
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Determine o Domínio das seguintes funções:
En cada caso encuentra la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
con
Calcule os limites: