Encuentra en cada caso la solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales:
y' = 1/x * y - 2 * x * y^2 con y(1)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado é:
com a condição inicial .
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem e não linear. Para resolver, vamos usar o método de Bernoulli, que é ótimo para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para encaixar na forma padrão da equação de Bernoulli:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, identificamos:

Passo 3

O próximo passo no método de Bernoulli é fazer uma substituição para linearizar a equação. Definimos:
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Substituímos da equação original na expressão de :
Simplificando:
Agora, temos uma equação linear em termos de :

Passo 5

Vamos resolver essa equação linear usando o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso pode ser reescrito como:

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para :
Lembrando que , então:

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Resposta

A solução particular da equação diferencial é:

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