Calcule os limites.
3. lim t 0(e^-3 t i+t^2sen^2 t j+cos 2 t k)
4. lim t 1(t^2-tt-1 i+raizt+8 j+sen pi tln t k)
5. lim t inftylang<=1+t^21-t^2, tg^-1 t 1-e^-2 ttrang<=
6. lim t inftylang<= t e^-t, t^3+t2 t^3-1, t sen 1trang<=

Passo 1

Beleza, vamos resolver alguns limites que envolvem funções vetoriais e componentes diferentes. A gente vai precisar usar conceitos de limites de funções escalares, propriedades de exponenciais, funções trigonométricas e logaritmos. Vamos dar uma olhada em cada limite separadamente!

Passo 2

Questão 3:
lim t 0(e^-3 t i+t^2sin^2 t j+cos 2 t k)
Vamos resolver cada componente separadamente.
Componente limt to 0 e^-3t :
limt to 0 e^-3t = e^0 = 1
Sabemos que limt to 0 t^2sin^2 t , então:
t^2sin^2 t approx t^2t^2 = 1
Componente limt to 0 t^2sin^2 t = 1 :
limt to 0 cos 2t
Usando a regra de limt to 0 cos 2t = cos 0 = 1 , temos perto de 0, então:
Portanto:
Componente :
Sabemos que , então:

Passo 3

Resposta da Questão 3:
lim t 0(e^-3 t i+t^2sin^2 t j+cos 2 t k) = i + j + k

Passo 4

Questão 4:
lim t 1(t^2-tt-1 i+raizt+8 j+sin pi tln t k)
Vamos novamente resolver cada componente separadamente.
Componente limt to 1 t^2-tt-1 :
t^2 - t = t(t - 1)
Factorando o numerador:
t(t - 1)t - 1 = t
Então:
limt to 1 t^2-tt-1 = 1
Portanto:
limt to 1 raizt + 8 = raiz1 + 8 = raiz9 = 3
Componente limt to 1 sin pi tln t :
sin piln 1 = 00
Componente limt to 1 pi cos pi t1t = limt to 1 pi t cos pi t = pi cdot 1 cdot cos pi = -pi :
Substituindo :
Essa é uma forma indeterminada, então vamos usar L’Hôpital. Derivando numerador e denominador:

Passo 5

Resposta da Questão 4:
lim t 1(t^2-tt-1 i+raizt+8 j+sin pi tln t k) = 1,i + 3,j - pi,k

Passo 6

Questão 5:
lim t inftylang<=1+t^21-t^2, tan^-1 t cdot 1-e^-2 ttrang<=
Vamos analisar cada componente.
Componente 1:
limt to infty 1 + t^21 - t^2 = limt to infty t^2(1 + 1t^2)t^2(-1 + 1t^2) = 1-1 = -1
Componente 2:
limt to infty tan^-1 t cdot 1 - e^-2tt
Sabemos que 1 - e^-2tt approx 1t to 0 quando limt to infty tan^-1 t cdot 1 - e^-2tt = pi2 cdot 0 = 0 e , então:
Portanto:

Passo 7

Resposta da Questão 5:
lim t inftylang<=1+t^21-t^2, tan^-1 t cdot 1-e^-2 ttrang<= = lang<= -1, 0 rang<=

Passo 8

Questão 6:
lim t inftylang<= t e^-t, t^3+t2 t^3-1, t sin 1trang<=
Vamos resolver cada componente.
Componente 1:
limt to infty t e^-t
Sabemos que exponenciais decrescem mais rápido que polinômios crescem, então:
limt to infty t e^-t = 0
Componente 2:
limt to infty t^3 + t2 t^3 - 1 = limt to infty t^3(1 + 1t^2)t^3(2 - 1t^3) = 12
Componente 3:
limt to infty t sin 1t
Para t sin 1t approx t cdot 1t = 1 , limt to infty t sin 1t = 1 , então:
Portanto:

Passo 9

Resposta da Questão 6:
lim t inftylang<= t e^-t, t^3+t2 t^3-1, t sin 1trang<= = lang<= 0, 12, 1 rang<=

Resposta

Concluímos todos os limites conforme resolvido acima!

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