Mostre que se
é uma função vetorial tal que
(constante), então
é perpendicular a
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que se temos uma função vetorial
que nunca é o vetor zero e cuja norma (ou comprimento) é sempre constante, ou seja,
, então a derivada dessa função,
, é perpendicular a
. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo vetorial, especificamente com derivadas de funções vetoriais e propriedades de vetores perpendicular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor
é dada por
, onde “
” representa o produto escalar. Como a norma é constante, isso significa que
, onde
é uma constante.
Passo 3
Para facilitar, vamos quadrar ambos os lados da igualdade da norma:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo
. Usando a regra do produto para derivadas, temos:
Passo 5
Derivando o lado esquerdo:
E o lado direito, já que
é constante:
Então, temos:
Passo 6
Dividindo ambos os lados por 2:
Isso significa que o produto escalar entre
e
é zero.
Passo 7
Sabemos que dois vetores são perpendiculares se e somente se o produto escalar entre eles for zero. Portanto,
implica que
é perpendicular a
.
Resposta
Concluímos que
é perpendicular a
quando a norma de
é constante.