Mostre que se vec(r)(t) != vetor(0) é uma função vetorial tal que ||r(t)|| = c (constante), então r'(t) é perpendicular a vec(r)(t).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que se temos uma função vetorial vec(r)(t) que nunca é o vetor zero e cuja norma (ou comprimento) é sempre constante, ou seja, , então a derivada dessa função, r'(t), é perpendicular a vec(r)(t). Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo vetorial, especificamente com derivadas de funções vetoriais e propriedades de vetores perpendicular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor vec(r)(t) é dada por , onde “ \cdot” representa o produto escalar. Como a norma é constante, isso significa que , onde c é uma constante.

Passo 3

Para facilitar, vamos quadrar ambos os lados da igualdade da norma:
Isso nos dá:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados dessa equação em relação ao tempo t. Usando a regra do produto para derivadas, temos:

Passo 5

Derivando o lado esquerdo:
E o lado direito, já que é constante:
Então, temos:

Passo 6

Dividindo ambos os lados por 2:
Isso significa que o produto escalar entre vec(r)(t) e r'(t) é zero.

Passo 7

Sabemos que dois vetores são perpendiculares se e somente se o produto escalar entre eles for zero. Portanto, implica que vec(r)(t) é perpendicular a r'(t).

Resposta

Concluímos que r'(t) é perpendicular a vec(r)(t) quando a norma de vec(r)(t) é constante.

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