Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe: lim (x, y) (0,0) x^3 y^2x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso está dentro do estudo de limites em funções de várias variáveis, uma parte da matemática que ajuda a entender como funções se comportam em pontos específicos. Para resolver isso, vamos precisar analisar diferentes caminhos pelos quais pode se aproximar de e ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo x^3 cdot 0^2x^2 + 0^2 = 0x^2 = 0 , ou seja, quando . Substituindo na função:
Então, ao se aproximar de pelo eixo , o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos tentar pelo eixo 0^3 cdot y^20^2 + y^2 = 0y^2 = 0 , onde . Substituindo na função:
Então, pelo eixo , o limite também é 0.

Passo 4

Embora tenhamos obtido 0 em dois caminhos diferentes, isso não garante que o limite exista. Vamos testar outro caminho, por exemplo, x^3 cdot (k x)^2x^2 + (k x)^2 = x^3 cdot k^2 x^2x^2(1 + k^2) = k^2 x^5x^2(1 + k^2) = k^2 x^31 + k^2 , onde limx to 0 k^2 x^31 + k^2 = 0 é uma constante. Substituindo na função:
Agora, calculando o limite quando tende a 0:
Então, mesmo por esse caminho, o limite é 0.

Passo 5

Vamos verificar um caminho mais interessante, como x^3 cdot (x^n)^2x^2 + (x^n)^2 = x^3 cdot x^2nx^2 + x^2n = x^3 + 2nx^2(1 + x^2n - 2) = x^1 + 2n1 + x^2n - 2 , onde é um número real. Substituindo na função:
Agora, analisamos o comportamento quando tende a 0:
  • Se , o numerador tende a 0 e o denominador tende a 1, então o limite é 0.
  • Se , ou seja, , a expressão fica , que tende a 0.
  • Se , o numerador tende a infinito negativo ou positivo, mas o denominador também tende a infinito, então o limite ainda é 0.
Em todos os casos, o limite é 0.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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