Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está dentro do estudo de limites em funções de várias variáveis, uma parte da matemática que ajuda a entender como funções se comportam em pontos específicos. Para resolver isso, vamos precisar analisar diferentes caminhos pelos quais
pode se aproximar de
e ver se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na função:
Então, ao se aproximar de
pelo eixo
, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos tentar pelo eixo
, onde
. Substituindo
na função:
Então, pelo eixo
, o limite também é 0.
Passo 4
Embora tenhamos obtido 0 em dois caminhos diferentes, isso não garante que o limite exista. Vamos testar outro caminho, por exemplo,
, onde
é uma constante. Substituindo
na função:
Agora, calculando o limite quando
tende a 0:
Então, mesmo por esse caminho, o limite é 0.
Passo 5
Vamos verificar um caminho mais interessante, como
, onde
é um número real. Substituindo
na função:
Agora, analisamos o comportamento quando
tende a 0:
- Se
, o numerador tende a 0 e o denominador tende a 1, então o limite é 0. - Se
, ou seja, , a expressão fica , que tende a 0. - Se
, o numerador tende a infinito negativo ou positivo, mas o denominador também tende a infinito, então o limite ainda é 0.
Em todos os casos, o limite é 0.
Resposta
O limite
existe e é igual a 0.