Calcule os limites:
g) lim x -3 3 x^3+9 x^2-12 x-36x+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite quando se aproxima de -3 da expressão . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites e fatoração de polinômios. Basicamente, queremos ver o que acontece com essa fração quando fica muito perto de -3.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece se substituirmos diretamente na expressão. No denominador, temos , que dá zero. Isso significa que a expressão pode estar “indeterminada” nesse ponto, e precisamos investigar mais a fundo.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece no numerador quando 3(-3)^3 + 9(-3)^2 - 12(-3) - 36 = 3(-27) + 9(9) + 36 - 36 = -81 + 81 + 36 - 36 = 0 :
Legal, o numerador também dá zero quando . Isso sugere que é um fator comum no numerador e no denominador. Vamos então tentar fatorar o numerador para simplificar a expressão.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador:
3x^3 + 9x^2 - 12x - 36 = 3(x^3 + 3x^2 - 4x - 12)
Agora, precisamos fatorar o polinômio . Para isso, vamos usar a divisão sintética ou tentar encontrar raízes que façam o polinômio igual a zero.

Passo 5

Usando a divisão sintética com r|rrrr -3 & 1 & 3 & -4 & -12 & & -3 & 0 & 12 hline & 1 & 0 & -4 & 0 :
x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = (x + 3)(x^2 - 4)
Isso nos mostra que é realmente um fator, e o polinômio pode ser escrito como:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:
3(x + 3)(x^2 - 4)x + 3 = 3(x^2 - 4)
Agora, o 3((-3)^2 - 4) = 3(9 - 4) = 3 times 5 = 15 cancela, e podemos calcular o limite substituindo :

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados