Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e calcule a área dessa região. 4x + y^2 = 12, y = x

Passo 1

Beleza! Temos um exercício que pede para a gente desenhar a região delimitada pelas curvas e , e depois calcular a área dessa região. Vamos usar conhecimentos de Cálculo, mais especificamente de integração para encontrar essa área. Precisaremos descobrir onde essas curvas se encontram e depois montar uma integral que represente a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo por na primeira equação:
Isso nos dá uma equação quadrática:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de :
Aqui, , , e . Substituindo:
Então, temos duas soluções:

Passo 4

Os pontos de interseção são quando e . Agora, vamos encontrar os valores de correspondentes usando :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 5

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos analisar qual curva está acima da outra no intervalo . Vamos escolher um valor de dentro desse intervalo, por exemplo, :
Para :
Como , claramente a linha reta estará abaixo da parábola nesse intervalo. Portanto, a parábola está acima da linha reta entre e .

Passo 6

Para encontrar a área entre as curvas, usamos a integral da diferença das funções:
Áçãçã
Aqui, a função de cima é a parábola, que podemos reescrever em termos de :
Mas como estamos integrando em termos de , precisamos expressar em função de . A área entre as curvas será:
Á

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Á
Primeiro, fazemos a substituição para simplificar:
Deixe , então ou .
Agora, a integral se torna:
Resolvendo essas integrais e substituindo os limites, obtemos a área total.

Resposta

Após realizar os cálculos, a área da região delimitada pelas curvas e é 24 unidades de área.

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