Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e calcule a área dessa região.
Passo 1
Beleza! Temos um exercício que pede para a gente desenhar a região delimitada pelas curvas
e
, e depois calcular a área dessa região. Vamos usar conhecimentos de Cálculo, mais especificamente de integração para encontrar essa área. Precisaremos descobrir onde essas curvas se encontram e depois montar uma integral que represente a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo
por
na primeira equação:
Isso nos dá uma equação quadrática:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
:
Aqui,
,
, e
. Substituindo:
Então, temos duas soluções:
Passo 4
Os pontos de interseção são quando
e
. Agora, vamos encontrar os valores de
correspondentes usando
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 5
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos analisar qual curva está acima da outra no intervalo
. Vamos escolher um valor de
dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Para
:
Como
, claramente a linha reta
estará abaixo da parábola nesse intervalo. Portanto, a parábola está acima da linha reta entre
e
.
Passo 6
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a integral da diferença das funções:
Aqui, a função de cima é a parábola, que podemos reescrever em termos de
:
Mas como estamos integrando em termos de
, precisamos expressar
em função de
. A área entre as curvas será:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Primeiro, fazemos a substituição para simplificar:
Deixe
, então
ou
.
Agora, a integral se torna:
Resolvendo essas integrais e substituindo os limites, obtemos a área total.
Resposta
Após realizar os cálculos, a área da região delimitada pelas curvas
e
é 24 unidades de área.