Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada. Encontre os vértices e os focos. Faça um esboço da seção cônica.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação:
. Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de seção cônica é essa (elipse, parábola ou hipérbole), encontrar os vértices e os focos, e fazer um esboço dessa cônica. Para isso, vamos precisar usar a fórmula padrão das seções cônicas e completar o quadrado quando necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a identificação. A gente tem termos com
e
, então vamos separar eles:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para o termo de
. Isso ajuda a colocar a equação na forma padrão.
- Primeiro, fatoramos o coeficiente de
:
- Para completar o quadrado dentro do parênteses, pegamos metade do coeficiente de
(que é -2), elevamos ao quadrado e adicionamos dentro do parênteses:
- Agora, somamos 9 dos dois lados:
Passo 4
Vamos dividir toda a equação por 36 para simplificar:
Simplificando:
Passo 5
Olha só, essa é a forma padrão de uma elipse! A equação geral é
. Aqui,
,
,
(então
) e
(então
).
Passo 6
Agora, vamos encontrar os vértices da elipse. Como
, a elipse é vertical.
- O centro é em
. - Os vértices estão a uma distância
do centro na vertical: - Vértice superior:
- Vértice inferior:
- Vértice superior:
Passo 7
Para achar os focos, usamos a relação
:
Então,
.
- Os focos estão a uma distância
do centro na vertical: - Foco superior:
- Foco inferior:
- Foco superior:
Resposta
A equação
representa uma elipse com centro em
. Os vértices estão em
e
, e os focos estão em
e
. O esboço da elipse mostraria uma forma vertical centrada no ponto
com os vértices e focos localizados conforme descrito.
Exercícios relacionados
Encontre os vértices, os focos e as assíntitas da hipérbole. Faça um esboço da hipérbole.
.
Encontre uma equação para a hipérbole que satisfaz as condições dadas:
Vértices e focos
.
Vértices
Mostre que a menor distância de um ponto
a uma reta
é:
Calcule os limites: