Identifique o tipo de seção cônica cuja equação é dada. Encontre os vértices e os focos. Faça um esboço da seção cônica.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação: . Nosso objetivo aqui é descobrir que tipo de seção cônica é essa (elipse, parábola ou hipérbole), encontrar os vértices e os focos, e fazer um esboço dessa cônica. Para isso, vamos precisar usar a fórmula padrão das seções cônicas e completar o quadrado quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para facilitar a identificação. A gente tem termos com e , então vamos separar eles:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para o termo de . Isso ajuda a colocar a equação na forma padrão.
  • Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
  • Para completar o quadrado dentro do parênteses, pegamos metade do coeficiente de (que é -2), elevamos ao quadrado e adicionamos dentro do parênteses:
  • Agora, somamos 9 dos dois lados:

Passo 4

Vamos dividir toda a equação por 36 para simplificar:
Simplificando:

Passo 5

Olha só, essa é a forma padrão de uma elipse! A equação geral é . Aqui, , , (então ) e (então ).

Passo 6

Agora, vamos encontrar os vértices da elipse. Como , a elipse é vertical.
  • O centro é em .
  • Os vértices estão a uma distância do centro na vertical:
    • Vértice superior:
    • Vértice inferior:

Passo 7

Para achar os focos, usamos a relação :
Então, .
  • Os focos estão a uma distância do centro na vertical:
    • Foco superior:
    • Foco inferior:

Resposta

A equação representa uma elipse com centro em . Os vértices estão em e , e os focos estão em e . O esboço da elipse mostraria uma forma vertical centrada no ponto com os vértices e focos localizados conforme descrito.

Exercícios relacionados

Encontre os vértices, os focos e as assíntitas da hipérbole. Faça um esboço da hipérbole.
.
Encontre uma equação para a hipérbole que satisfaz as condições dadas:
Vértices e focos .
Mostre que a menor distância de um ponto a uma reta é:
Calcule os limites: