Calcule os limites.
(o)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Aqui, estamos lidando com cálculo de limites, que é parte da matemática que estuda o comportamento de funções quando as variáveis se aproximam de certos valores. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo com o numerador e o denominador quando se aproxima de :
  • O numerador tende a zero, porque está chegando perto de .
  • O denominador também tende a zero, já que .
Isso nos dá uma forma indeterminada , o que significa que precisamos de uma estratégia para resolver.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir . Assim, quando se aproxima de , se aproxima de zero ( ).

Passo 4

Com essa substituição, podemos reescrever a expressão original em termos de :

Passo 5

Sabemos que devido à identidade trigonométrica . Então, nossa expressão fica:

Passo 6

Agora, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de zero:

Passo 7

Esse é um limite padrão que sabemos que vale 1. Isso porque, para valores muito pequenos de , é aproximadamente igual a , tornando a fração .

Resposta

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