Calcule os limites.
(o)
(o)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando
se aproxima de
da expressão . Aqui, estamos lidando com cálculo de limites, que é parte da matemática que estuda o comportamento de funções quando as variáveis se aproximam de certos valores. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que está acontecendo com o numerador e o denominador quando
se aproxima de
:
- O numerador
tende a zero, porque está chegando perto de . - O denominador também tende a zero, já que .
Isso nos dá uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos de uma estratégia para resolver.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir
. Assim, quando
se aproxima de
,
se aproxima de zero (
).
Passo 4
Com essa substituição, podemos reescrever a expressão original em termos de
:
Passo 5
Sabemos que devido à identidade trigonométrica . Então, nossa expressão fica:
Passo 6
Agora, precisamos calcular o limite de quando
se aproxima de zero:
Passo 7
Esse é um limite padrão que sabemos que vale 1. Isso porque, para valores muito pequenos de
, é aproximadamente igual a
, tornando a fração
.
Resposta
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