Calcule os limites.
(m) lim t 0 1-cos 3 tcos ^2 5 t-1

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite .
Esse exercício envolve conceitos de limites e trigonometria, especificamente usando propriedades de funções trigonométricas como o cosseno.
Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões trigonométricas e aplicar técnicas de cálculo de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando se aproxima de 0:
  • No numerador: tende a 0, já que .
  • No denominador: também tende a 0, porque , então .
Isso nos dá uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos lembrar de uma identidade trigonométrica útil:
1 - cos x = 2 sin^2 (x2)
Aplicando isso ao numerador:
1 - cos 3t = 2 sin^2 (3t2)
Agora, vamos simplificar o denominador. Sabemos que:
cos^2 x - 1 = -sin^2 x
Então, aplicando isso ao denominador:
cos^2 5t - 1 = -sin^2 5t

Passo 4

Agora, substituímos essas simplificaç��es na expressão original:
lim t 0 2 sin^2 (3t2)-sin^2 5t
Podemos simplificar os sinais:
lim t 0 -2 (sin (3t2)sin 5t)^2

Passo 5

Sabemos que, para sin xx approx 1 próximo de 0:
lim t 0 -2 (sin (3t2)3t2 cdot 3t2sin 5t)^2
Vamos reescrever a expressão para usar essa aproximação:
-2 (11 cdot 3t/25t)^2
Isso fica:
-2 (3/25)^2 = -2 (310)^2 = -2 cdot 9100 = -18100 = -950
Simplificando os :

Resposta

O limite é .

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