Calcule os limites lim x +infty x(raizx^2+1-x)(Resp: 12)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite da expressão quando tende para mais infinito. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de limites e manipulação de expressões algébricas com raízes quadradas.

Passo 2

Observamos que a expressão dentro do limite envolve uma diferença de radicais, o que pode ser complicado de lidar diretamente. Uma técnica útil nesse caso é multiplicar e dividir a expressão por x(raizx^2+1 - x) times raizx^2+1 + xraizx^2+1 + x . Isso ajuda a simplificar a diferença de radicais.

Passo 3

No numerador, aplicamos a identidade (raizx^2+1 - x)(raizx^2+1 + x) = (raizx^2+1)^2 - x^2 = (x^2 + 1) - x^2 = 1 . Assim, temos:
x times 1raizx^2+1 + x
Portanto, a expressão simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão resultante. Podemos dividir o numerador e o denominador por x times 1x(raiz1 + 1x^2 + 1) = 1raiz1 + 1x^2 + 1 :

Passo 5

Quando 1raiz1 + 0 + 1 = 11 + 1 = 12 tende para mais infinito, tende a zero. Assim, a expressão dentro da raiz se aproxima de 1:

Resposta

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