Mostre como encontrar a solução geral das equações diferencias abaixo
d y/d x = -y + 5

Passo 1

Beleza, o enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação diferencial . Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações lineares, que é . No nosso caso, temos:
Então, aqui e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Como , temos:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica para:
Aqui usamos a regra do produto para derivadas.

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
A integral do lado esquerdo é simplesmente , e a do lado direito é , onde C é a constante de integração. Então:

Passo 6

Para encontrar y, dividimos ambos os lados por e^x:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde C é uma constante arbitrária.

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