Mostre como encontrar a solução geral das equações diferencias abaixo
Passo 1
Beleza, o enunciado nos pede para encontrar a solução geral da equação diferencial
. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão das equações lineares, que é
. No nosso caso, temos:
Então, aqui
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Como
, temos:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Aqui usamos a regra do produto para derivadas.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a do lado direito é
, onde
é a constante de integração. Então:
Passo 6
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.