Encontre os extremos relativos da função abaixo utilizando o teste da derivada primeira. Quais os pontos de máximo e mínimo?
18.
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Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os extremos relativos (máximos e mínimos) da função
usando o teste da derivada primeira. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde ela é igual a zero (pontos críticos) e analisar o comportamento da derivada nesses pontos para determinar se são máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A função é o produto de duas funções:
e
. Usaremos a regra do produto, que diz que a derivada de
é:
Vamos calcular
e
:
Então,
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão da derivada. Podemos fatorar
da expressão:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então, a derivada fica:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver
:
Isso dá as seguintes soluções:
-
⇒ -
⇒ -
⇒
Portanto, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 5
Agora, vamos aplicar o teste da derivada primeira para determinar a natureza de cada ponto crítico.
-
Para
: - Escolha de valores ao redor de
: e . -
: (derivada negativa). -
: (derivada positiva). - Como a derivada passa de negativa para positiva,
é um mínimo relativo.
- Escolha de valores ao redor de
-
Para
: - Escolha de valores ao redor de
: e . -
: (derivada positiva). -
: (derivada negativa). - Como a derivada passa de positiva para negativa,
é um máximo relativo.
- Escolha de valores ao redor de
-
Para
: - Escolha de valores ao redor de
: e . -
: (derivada negativa). -
: (derivada positiva). - Como a derivada passa de negativa para positiva,
é um mínimo relativo.
- Escolha de valores ao redor de
Resposta
A função possui dois pontos de mínimo relativo nos pontos
e
, e um ponto de máximo relativo em
.
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