Encontre os extremos relativos da função abaixo utilizando o teste da derivada primeira. Quais os pontos de máximo e mínimo?
18.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar os extremos relativos (máximos e mínimos) da função usando o teste da derivada primeira. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função, encontrar onde ela é igual a zero (pontos críticos) e analisar o comportamento da derivada nesses pontos para determinar se são máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A função é o produto de duas funções: e . Usaremos a regra do produto, que diz que a derivada de é:
Vamos calcular e :
Então,

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão da derivada. Podemos fatorar da expressão:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então, a derivada fica:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver :
Isso dá as seguintes soluções:
Portanto, os pontos críticos são , e .

Passo 5

Agora, vamos aplicar o teste da derivada primeira para determinar a natureza de cada ponto crítico.
  1. Para :
    • Escolha de valores ao redor de : e .
    • : (derivada negativa).
    • : (derivada positiva).
    • Como a derivada passa de negativa para positiva, é um mínimo relativo.
  2. Para :
    • Escolha de valores ao redor de : e .
    • : (derivada positiva).
    • : (derivada negativa).
    • Como a derivada passa de positiva para negativa, é um máximo relativo.
  3. Para :
    • Escolha de valores ao redor de : e .
    • : (derivada negativa).
    • : (derivada positiva).
    • Como a derivada passa de negativa para positiva, é um mínimo relativo.

Resposta

A função possui dois pontos de mínimo relativo nos pontos e , e um ponto de máximo relativo em .

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