Calcule os limites: lim n +infty n cos n1+n^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse problema é da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre limites. Para resolver, a gente vai precisar entender como as funções se comportam quando cresce muito, e usar umas propriedades básicas de limites e da função cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
-1 <= cos n <= 1
Isso significa que não cresce nem diminui além desses valores.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar toda a desigualdade por - n <= n cos n <= n (supondo , que é o caso quando tende para mais infinito):

Passo 4

Dividindo toda a desigualdade por -n1 + n^2 <= n cos n1 + n^2 <= n1 + n^2 (que é sempre positivo, então a direção das desigualdades não muda):

Passo 5

Agora, vamos ver o que acontece com os limites das duas extremidades quando limn to +infty n1 + n^2 = limn to +infty 1n + 1n = 0 tende a infinito.
Para :
E o mesmo vale para , que também tende a 0.

Passo 6

Como o termo está “preso” entre dois valores que tendem a 0, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperta), o limite também é 0.

Resposta

lim n +infty n cos n1+n^2 = 0

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