O que se pode afirmar a respeito do número complexo
se
? E se
? Justifique suas respostas.
Passo 1
Beleza, a gente tem um número complexo
e precisamos descobrir o que acontece quando
é igual ao seu conjugado, ou seja,
. Depois, também vamos ver o que ocorre se o quadrado de
é igual ao quadrado do seu conjugado, ou seja,
. Vamos precisar entender o que é número complexo, conjugado e como operar com eles.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um número complexo. Um número complexo é da forma
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária com
. O conjugado de
, escrito como
, é
.
Passo 3
Vamos analisar a primeira parte:
. Isso significa que:
Olhando para essa igualdade, vemos que as partes reais são iguais (
) e as partes imaginárias também precisam ser iguais:
Para que isso seja verdade, a única possibilidade é que
.
Passo 4
Então, se
, o número complexo
não tem parte imaginária, ou seja, ele é realmente um número real:
Portanto, quando
,
é um número real.
Passo 5
Agora, vamos para a segunda parte:
. Vamos calcular
e
.
Primeiro,
:
Então:
Agora,
:
Então:
Passo 6
A igualdade
implica que:
Comparando as partes reais e imaginárias, temos:
Para que isso seja válido,
, ou seja:
Portanto, ou
ou
.
Passo 7
Então, para
, temos duas possibilidades:
-
: Nesse caso, , que é um número puramente imaginário. -
: Nesse caso, , que é um número real.
Resposta
Se
, então
é um número real. Se
, então
é ou real ou puramente imaginário.
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Determine qual a distância entre os dois números complexos
e
e qual está mais próximo da origem. Justifique a resposta.
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que implique na igualdade