O que se pode afirmar a respeito do número complexo se ? E se ? Justifique suas respostas.

Passo 1

Beleza, a gente tem um número complexo e precisamos descobrir o que acontece quando é igual ao seu conjugado, ou seja, . Depois, também vamos ver o que ocorre se o quadrado de é igual ao quadrado do seu conjugado, ou seja, . Vamos precisar entender o que é número complexo, conjugado e como operar com eles.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um número complexo. Um número complexo é da forma , onde e são números reais, e é a unidade imaginária com . O conjugado de , escrito como , é .

Passo 3

Vamos analisar a primeira parte: . Isso significa que:
Olhando para essa igualdade, vemos que as partes reais são iguais ( ) e as partes imaginárias também precisam ser iguais:
Para que isso seja verdade, a única possibilidade é que .

Passo 4

Então, se , o número complexo não tem parte imaginária, ou seja, ele é realmente um número real:
Portanto, quando , é um número real.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda parte: . Vamos calcular e .
Primeiro, :
Então:
Agora, :
Então:

Passo 6

A igualdade implica que:
Comparando as partes reais e imaginárias, temos:
Para que isso seja válido, , ou seja:
Portanto, ou ou .

Passo 7

Então, para , temos duas possibilidades:
  1. : Nesse caso, , que é um número puramente imaginário.
  2. : Nesse caso, , que é um número real.

Resposta

Se , então é um número real. Se , então é ou real ou puramente imaginário.

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