Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique cada resposta.
.
Passo 1
Vamos analisar o limite
. Aqui, precisamos entender como as funções no numerador e no denominador se comportam conforme
cresce. Vamos usar conceitos de crescimento de funções para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, observe que o numerador é
, que cresce de maneira linear conforme
aumenta. O denominador é
, que envolve o logaritmo natural de
elevado à 100ª potência. Embora o logaritmo também cresça quando
aumenta, ele cresce muito mais lentamente comparado ao crescimento linear de
.
Passo 3
Para entender melhor, sabemos que funções polinomiais, como
, crescem mais rápido que funções logarítmicas, como
. Mesmo quando o logaritmo está elevado a uma potência elevada, como 100, o crescimento ainda é significativamente mais lento do que o crescimento linear de
.
Passo 4
Então, quando dividimos
por
, o numerador está aumentando muito mais rápido que o denominador. Isso faz com que a fração
aumente sem limites conforme
tende ao infinito.
Resposta
A afirmação é falsa. O limite
não é igual a zero; na verdade, ele tende ao infinito.
Exercícios relacionados
Seja
. Expresse as quantidades abaixo em termos de
e
.
Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique cada resposta. Qualquer sequência que satisfaça
é tal que
, independentemente da sequência
.
Considere
. Calcule
e
Calcule os limites: