Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o limite da função quando se aproxima de . Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente de limites multivariáveis e expansões de séries para funções. Para isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes e analisar o comportamento da função perto do ponto de interesse.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando , tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, resultando em uma forma indeterminada . Para resolver isso, podemos expandir a expressão usando uma aproximação de série de Taylor para , onde é uma função que tende a zero.
A expansão de para pequeno é aproximadamente:
Nesse caso, , que realmente tende a zero quando . Substituindo na expansão:
Subtraindo 1 de ambos os lados:

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original do limite:
Para analisar o comportamento dessa expressão quando , podemos observar que o numerador tende a zero mais rapidamente do que o denominador , já que o numerador é um produto de duas variáveis quadráticas.

Passo 4

Vamos usar uma estimativa para confirmar que o limite é zero. Notamos que pela desigualdade aritmética. Então:
À medida que , . Pelo Teorema do Squeeze (ou Sandwich), isso implica que .

Resposta

O limite existe e é igual a zero.

Exercícios relacionados

Calcule os limites:
Considere . Calcule e
O que se pode afirmar a respeito do número complexo se ? E se ? Justifique suas respostas.
Determine qual a distância entre os dois números complexos e e qual está mais próximo da origem. Justifique a resposta.