Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente de limites multivariáveis e expansões de séries para funções. Para isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes e analisar o comportamento da função perto do ponto de interesse.
Passo 2
Primeiro, observamos que quando
, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, resultando em uma forma indeterminada
. Para resolver isso, podemos expandir a expressão
usando uma aproximação de série de Taylor para
, onde
é uma função que tende a zero.
A expansão de
para
pequeno é aproximadamente:
Nesse caso,
, que realmente tende a zero quando
. Substituindo
na expansão:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 3
Agora, substituímos essa aproximação na expressão original do limite:
Para analisar o comportamento dessa expressão quando
, podemos observar que o numerador
tende a zero mais rapidamente do que o denominador
, já que o numerador é um produto de duas variáveis quadráticas.
Passo 4
Vamos usar uma estimativa para confirmar que o limite é zero. Notamos que
pela desigualdade aritmética. Então:
À medida que
,
. Pelo Teorema do Squeeze (ou Sandwich), isso implica que
.
Resposta
O limite existe e é igual a zero.
Exercícios relacionados
Calcule os limites:
Considere
. Calcule
e
O que se pode afirmar a respeito do número complexo
se
? E se
? Justifique suas respostas.
Determine qual a distância entre os dois números complexos
e
e qual está mais próximo da origem. Justifique a resposta.