Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x) y) raizx^2 y^2+1-1x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para determinar o limite da função quando se aproxima de . Vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente de limites multivariáveis e expansões de séries para funções. Para isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes e analisar o comportamento da função perto do ponto de interesse.

Passo 2

Primeiro, observamos que quando raiz1 + h approx 1 + h2 - h^28 + dots , tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, resultando em uma forma indeterminada raiz1 + x^2 y^2 approx 1 + x^2 y^22 . Para resolver isso, podemos expandir a expressão raiz1 + x^2 y^2 - 1 approx x^2 y^22 usando uma aproximação de série de Taylor para , onde é uma função que tende a zero.
A expansão de para pequeno é aproximadamente:
Nesse caso, , que realmente tende a zero quando . Substituindo na expansão:
Subtraindo 1 de ambos os lados:

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original do limite:
raizx^2 y^2 + 1 - 1x^2 + y^2 approx x^2 y^22x^2 + y^2 = x^2 y^22(x^2 + y^2)
Para analisar o comportamento dessa expressão quando , podemos observar que o numerador tende a zero mais rapidamente do que o denominador , já que o numerador é um produto de duas variáveis quadráticas.

Passo 4

Vamos usar uma estimativa para confirmar que o limite é zero. Notamos que x^2 y^2x^2 + y^2 <= (x^2 + y^2)^24x^2 + y^2 = x^2 + y^24 pela desigualdade aritmética. Então:
À medida que , . Pelo Teorema do Squeeze (ou Sandwich), isso implica que .

Resposta

O limite existe e é igual a zero.
lim (x,y) to (0,0) raizx^2 y^2+1-1x^2+y^2 = 0

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