Calcule os limites.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos três limites quando se aproxima de 0. Estamos lidando com funções exponenciais, trigonométricas e frações envolvendo seno. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos básicos de limites e propriedades dessas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0.
Sabemos que é uma função contínua, o que significa que podemos substituir diretamente o valor de no lugar de . Então:

Passo 3

Agora, vamos para o segundo limite: .
Para resolver isso, lembramos que quando está próximo de 0, é aproximadamente igual a (ou seja, ). Então:
Substituindo na fração:
Portanto:

Passo 4

Finalmente, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0.
A função cosseno também é contínua, então podemos substituir diretamente:

Resposta

Os limites são todos iguais a 1. Portanto:

Exercícios relacionados

a) Mostre que
Use derivação implícita para determinar
c)
Seja o sólido gerado pela rotação do gráfico em torno do eixo-x para
a) Mostre que a área lateral do sólido obtido é
Seja
em que é um número natural e . Prove que
e . Conclua que