Calcule os limites.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos três limites quando
se aproxima de 0. Estamos lidando com funções exponenciais, trigonométricas e frações envolvendo seno. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos básicos de limites e propriedades dessas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0.
Sabemos que
é uma função contínua, o que significa que podemos substituir diretamente o valor de
no lugar de
. Então:
Passo 3
Agora, vamos para o segundo limite:
.
Para resolver isso, lembramos que quando
está próximo de 0,
é aproximadamente igual a
(ou seja,
). Então:
Substituindo na fração:
Portanto:
Passo 4
Finalmente, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0.
A função cosseno também é contínua, então podemos substituir diretamente:
Resposta
Os limites são todos iguais a 1. Portanto:
Exercícios relacionados
a) Mostre que
Use derivação implícita para determinar
c)
c)
Seja
o sólido gerado pela rotação do gráfico
em torno do eixo-x para
a) Mostre que a área lateral do sólido obtido é
a) Mostre que a área lateral do sólido obtido é
Seja
em que
é um número natural e
. Prove que
e
. Conclua que