a) Mostre que

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos mostrar que . Isso envolve a função Gama, que é um conceito da matemática avançada, especificamente em cálculo integral e funções especiais. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da função Gama e algumas propriedades de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da função Gama:
Essa é a definição básica da função Gama para .

Passo 3

Agora, queremos encontrar . Usando a definição:

Passo 4

Vamos integrar por partes para simplificar . Escolhemos:
  •  ⇒ 
  •  ⇒ 

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo nossos valores:

Passo 6

Analisando os limites de de 0 a ∞:
  • Quando , decai mais rápido que qualquer potência de , então o termo vai para 0.
  • Quando , também é 0.
Portanto, o primeiro termo é 0.

Passo 7

Assim, ficamos com:

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados

Use derivação implícita para determinar
c)
Um ponto move-se ao longo da interseção do plano e do parabolóide elíptico . Qual é a taxa de variação de em relação a quando o ponto estiver em ?
Calcule os limites.
.
Seja o sólido gerado pela rotação do gráfico em torno do eixo-x para
a) Mostre que a área lateral do sólido obtido é