Seja
o sólido gerado pela rotação do gráfico
em torno do eixo-x para
a) Mostre que a área lateral do sólido obtido é
a) Mostre que a área lateral do sólido obtido é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sólido que é formado ao girar o gráfico de
em torno do eixo-x, começando de
até o infinito. O que precisamos fazer aqui é encontrar a área lateral desse sólido. Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente a fórmula para a área de superfícies de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área lateral de um sólido gerado pela rotação de uma curva
em torno do eixo-x. A fórmula é:
Aqui,
é a função que está sendo rodada, e
é a sua derivada em relação a
.
Passo 3
No nosso caso, a função
é
. Vamos calcular a derivada dessa função:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na fórmula da área:
Passo 5
Vamos simplificar dentro da raiz:
Então, a expressão fica:
Passo 6
Prontinho! Agora temos a expressão que representa a área lateral do sólido:
Resposta
A área lateral do sólido obtido é
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Calcule os limites.
.
a) Mostre que
Seja
em que
é um número natural e
. Prove que
e
. Conclua que
Considere os conjuntos
e
.
(b) Os dois conjuntos têm algum elemento em comum?
(b) Os dois conjuntos têm algum elemento em comum?