Seja S o sólido gerado pela rotação do gráfico y=x^-1 em torno do eixo-x para 1 <= x
a) Mostre que a área lateral do sólido obtido é
Área(S)=2 pi integral1^infty 1x raiz1+x^-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sólido que é formado ao girar o gráfico de em torno do eixo-x, começando de até o infinito. O que precisamos fazer aqui é encontrar a área lateral desse sólido. Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente a fórmula para a área de superfícies de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área lateral de um sólido gerado pela rotação de uma curva Área = 2pi integrala^b y , raiz1 + (dydx)^2 , dx em torno do eixo-x. A fórmula é:
Á
Aqui, é a função que está sendo rodada, e é a sua derivada em relação a .

Passo 3

No nosso caso, a função dydx = ddx(1x) = -1x^2 é . Vamos calcular a derivada dessa função:

Passo 4

Agora, vamos substituir Área = 2pi integral1^infty 1x , raiz1 + (-1x^2)^2 , dx e na fórmula da área:
Á

Passo 5

Vamos simplificar dentro da raiz:
(-1x^2)^2 = 1x^4
Então, a expressão fica:
Área = 2pi integral1^infty 1x , raiz1 + 1x^4 , dx Á

Passo 6

Prontinho! Agora temos a expressão que representa a área lateral do sólido:
Área(S) = 2pi integral1^infty 1x raiz1 + x^-4 , dx Á

Resposta

A área lateral do sólido obtido é
Área(S) = 2pi integral1^infty 1x raiz1 + x^-4 , dx Á

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