Seja o sólido gerado pela rotação do gráfico em torno do eixo-x para
a) Mostre que a área lateral do sólido obtido é

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sólido que é formado ao girar o gráfico de em torno do eixo-x, começando de até o infinito. O que precisamos fazer aqui é encontrar a área lateral desse sólido. Para isso, vamos usar o cálculo integral, especificamente a fórmula para a área de superfícies de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a área lateral de um sólido gerado pela rotação de uma curva em torno do eixo-x. A fórmula é:
Á
Aqui, é a função que está sendo rodada, e é a sua derivada em relação a .

Passo 3

No nosso caso, a função é . Vamos calcular a derivada dessa função:

Passo 4

Agora, vamos substituir e na fórmula da área:
Á

Passo 5

Vamos simplificar dentro da raiz:
Então, a expressão fica:
Á

Passo 6

Prontinho! Agora temos a expressão que representa a área lateral do sólido:
Á

Resposta

A área lateral do sólido obtido é
Á

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Calcule os limites.
.
a) Mostre que
Seja
em que é um número natural e . Prove que
e . Conclua que
Considere os conjuntos e .
(b) Os dois conjuntos têm algum elemento em comum?