Use derivação implícita para determinar
c)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação e precisamos encontrar as derivadas parciais e usando a derivação implícita. Isso envolve calcular como muda em relação a e quando a equação é satisfeita.

Passo 2

Vamos começar derivando ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de e , então ao derivar termos que envolvem , precisamos aplicar a regra da cadeia.
Derivando em relação a :
Derivando em relação a usando a regra do produto:
Agora, derivamos em relação a :

Passo 3

Substituindo de volta na derivada do produto:
Então, a equação derivada em relação a fica:

Passo 4

Agora, vamos isolar . Primeiro, vamos reorganizar os termos:
Fatorando :

Passo 5

Finalmente, resolvemos para :

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial . Seguimos um processo semelhante, derivando ambos os lados da equação em relação a .
Derivando em relação a :
Derivando em relação a usando a regra do produto:
Derivando em relação a :

Passo 7

Substituindo de volta na derivada do produto:
Então, a equação derivada em relação a fica:

Passo 8

Agora, vamos isolar . Reorganizando os termos:
Fatorando :

Passo 9

Resolvendo para :

Resposta

A derivada parcial é:

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a) Mostre que
Calcule os limites.
.