Use derivação implícita para determinar
c)
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação e precisamos encontrar as derivadas parciais
e
usando a derivação implícita. Isso envolve calcular como
muda em relação a
e
quando a equação é satisfeita.
Passo 2
Vamos começar derivando ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
e
, então ao derivar termos que envolvem
, precisamos aplicar a regra da cadeia.
Derivando
em relação a
:
Derivando em relação a
usando a regra do produto:
Agora, derivamos
em relação a
:
Passo 3
Substituindo de volta na derivada do produto:
Então, a equação derivada em relação a
fica:
Passo 4
Agora, vamos isolar
. Primeiro, vamos reorganizar os termos:
Fatorando
:
Passo 5
Finalmente, resolvemos para
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada parcial
. Seguimos um processo semelhante, derivando ambos os lados da equação em relação a
.
Derivando
em relação a
:
Derivando em relação a
usando a regra do produto:
Derivando
em relação a
:
Passo 7
Substituindo de volta na derivada do produto:
Então, a equação derivada em relação a
fica:
Passo 8
Agora, vamos isolar
. Reorganizando os termos:
Fatorando
:
Passo 9
Resolvendo para
:
Resposta
A derivada parcial
é:
Exercícios relacionados
Um ponto move-se ao longo da interseção do plano
e do parabolóide elíptico
. Qual é a taxa de variação de
em relação a
quando o ponto estiver em
?
Se
e
são funções duas vezes diferenciáveis de uma única variável, mostre que a função
é solução da equação da onda
.
a) Mostre que
Calcule os limites.
.