Use derivação implícita para determinar partial zpartial x e partial zpartial y
c) x^2+z sen(x y z)=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação e precisamos encontrar as derivadas parciais e usando a derivação implícita. Isso envolve calcular como muda em relação a e quando a equação é satisfeita.

Passo 2

Vamos começar derivando ambos os lados da equação em relação a ddx(x^2) = 2x . Lembre-se que ddx(z cdot sen(x y z)) = partial zpartial x cdot sen(x y z) + z cdot cos(x y z) cdot ddx(x y z) é uma função de ddx(x y z) = y z + x y partial zpartial x e , então ao derivar termos que envolvem , precisamos aplicar a regra da cadeia.
Derivando em relação a :
Derivando em relação a usando a regra do produto:
Agora, derivamos em relação a :

Passo 3

Substituindo de volta na derivada do produto:
Então, a equação derivada em relação a partial zpartial x cdot sen(x y z) + z cdot cos(x y z) cdot (y z + x y partial zpartial x) fica:

Passo 4

Agora, vamos isolar partial zpartial x cdot sen(x y z) + z cdot cos(x y z) cdot x y partial zpartial x = -2x - z cdot cos(x y z) cdot y z . Primeiro, vamos reorganizar os termos:
Fatorando partial zpartial x [ sen(x y z) + z cdot cos(x y z) cdot x y ] = -2x - z^2 y cos(x y z) :

Passo 5

Finalmente, resolvemos para partial zpartial x = -2x - z^2 y cos(x y z) sen(x y z) + z cdot cos(x y z) cdot x y :

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada parcial ddy(x^2) = 0 . Seguimos um processo semelhante, derivando ambos os lados da equação em relação a ddy(z cdot sen(x y z)) = partial zpartial y cdot sen(x y z) + z cdot cos(x y z) cdot ddy(x y z) .
Derivando ddy(x y z) = x z + x y partial zpartial y em relação a :
Derivando em relação a usando a regra do produto:
Derivando em relação a :

Passo 7

Substituindo de volta na derivada do produto:
Então, a equação derivada em relação a partial zpartial y cdot sen(x y z) + z cdot cos(x y z) cdot (x z + x y partial zpartial y) fica:

Passo 8

Agora, vamos isolar partial zpartial y cdot sen(x y z) + z cdot cos(x y z) cdot x y partial zpartial y = - z cdot cos(x y z) cdot x z . Reorganizando os termos:
Fatorando partial zpartial y [ sen(x y z) + z cdot cos(x y z) cdot x y ] = - x z^2 cos(x y z) :

Passo 9

Resolvendo para partial zpartial y = - x z^2 cos(x y z) sen(x y z) + z cdot cos(x y z) cdot x y :

Resposta

A derivada parcial partial zpartial y = - x z^2 cos(x y z) sen(x y z) + z cdot cos(x y z) cdot x y é:

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