Seja
em que é um número natural e . Prove que
e . Conclua que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com integrais que envolvem funções exponenciais e polinomiais. O enunciado define uma integral , onde é um número natural maior ou igual a 1 e . Nosso objetivo é provar que e que . Por fim, vamos concluir que . Para isso, vamos precisar usar técnicas de integração por partes e entender um pouco sobre fatoriais.

Passo 2

Vamos começar provando que . Para isso, vamos usar a integração por partes, que é uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos e de forma estratégica para simplificar a integral.

Passo 3

Escolhemos:
  • → então
  • → então
Aplicando a fórmula de integração por partes:

Passo 4

Analisando os limites da primeira parte :
  • Quando , decai mais rápido que qualquer polinômio cresce, então o termo vai a 0.
  • Quando , , então o termo também é 0.
Portanto, a primeira parte é 0 e temos:
Isso prova que .

Passo 5

Agora, vamos calcular . Substituindo na definição de :
Essa é uma integral básica que podemos resolver facilmente:
Então, .

Passo 6

Com as duas provas anteriores, podemos agora encontrar uma expressão geral para . Vimos que:
E sabemos que . Vamos aplicar essa relação repetidamente:
  • E assim por diante.
Parece que a cada passo multiplicamos pelo próximo número natural e dividimos por , o que resulta em:

Resposta

Portanto, a integral é dada por:

Exercícios relacionados

Seja o sólido gerado pela rotação do gráfico em torno do eixo-x para
a) Mostre que a área lateral do sólido obtido é
Calcule os limites.
.
Considere os conjuntos e .
(b) Os dois conjuntos têm algum elemento em comum?
Considere os conjuntos e .
© Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja falsa, reescreva de maneira que se torne verdadeira.
i. ;
ii. ;
iii. ;
iv. ;
v. ;
vi. ;
vii. ;