Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com integrais que envolvem funções exponenciais e polinomiais. O enunciado define uma integral , onde é um número natural maior ou igual a 1 e . Nosso objetivo é provar que e que . Por fim, vamos concluir que . Para isso, vamos precisar usar técnicas de integração por partes e entender um pouco sobre fatoriais.
Passo 2
Vamos começar provando que . Para isso, vamos usar a integração por partes, que é uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos e de forma estratégica para simplificar a integral.
Passo 3
Escolhemos:
→ então
→ então
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 4
Analisando os limites da primeira parte :
Quando , decai mais rápido que qualquer polinômio cresce, então o termo vai a 0.
Quando , , então o termo também é 0.
Portanto, a primeira parte é 0 e temos:
Isso prova que .
Passo 5
Agora, vamos calcular . Substituindo na definição de :
Essa é uma integral básica que podemos resolver facilmente:
Então, .
Passo 6
Com as duas provas anteriores, podemos agora encontrar uma expressão geral para . Vimos que:
E sabemos que . Vamos aplicar essa relação repetidamente:
E assim por diante.
Parece que a cada passo multiplicamos pelo próximo número natural e dividimos por , o que resulta em: