Seja
Jn=integral0^infty x^n e^-alpha x d x
em que n >= 1 é um número natural e alpha>0. Prove que
Jn=nalpha Jn-1
e J0=1alpha. Conclua que
Jn=n!alpha^n+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com integrais que envolvem funções exponenciais e polinomiais. O enunciado define uma integral , onde é um número natural maior ou igual a 1 e . Nosso objetivo é provar que e que . Por fim, vamos concluir que . Para isso, vamos precisar usar técnicas de integração por partes e entender um pouco sobre fatoriais.

Passo 2

Vamos começar provando que integral u , dv = uv - integral v , du . Para isso, vamos usar a integração por partes, que é uma técnica que nos ajuda a integrar o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos e de forma estratégica para simplificar a integral.

Passo 3

Escolhemos:
  • Jn = integral0^infty x^n e^-alpha x dx = -x^nalpha e^-alpha x |0^infty + nalpha integral0^infty x^n-1 e^-alpha x dx → então
  • → então
Aplicando a fórmula de integração por partes:

Passo 4

Analisando os limites da primeira parte Jn = nalpha integral0^infty x^n-1 e^-alpha x dx = nalpha Jn-1 :
  • Quando , decai mais rápido que qualquer polinômio cresce, então o termo vai a 0.
  • Quando , , então o termo também é 0.
Portanto, a primeira parte é 0 e temos:
Isso prova que .

Passo 5

Agora, vamos calcular J0 = integral0^infty x^0 e^-alpha x dx = integral0^infty e^-alpha x dx . Substituindo J0 = -1alpha e^-alpha x |0^infty = 0 - (-1alpha) = 1alpha na definição de :
Essa é uma integral básica que podemos resolver facilmente:
Então, .

Passo 6

Com as duas provas anteriores, podemos agora encontrar uma expressão geral para Jn = nalpha Jn-1 . Vimos que:
Jn = n!alpha^n+1
E sabemos que . Vamos aplicar essa relação repetidamente:
  • E assim por diante.
Parece que a cada passo multiplicamos pelo próximo número natural e dividimos por , o que resulta em:

Resposta

Portanto, a integral Jn = n!alpha^n+1 é dada por:

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