Calcule os limites
lim t 5 / 2 2 t^2-3 t-52 t-5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim t 52 2 t^2-3 t-52 t-5
Aqui, estamos lidando com o cálculo de limites, uma parte importante do Cálculo Diferencial e Integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar frações algébricas e talvez fatorar polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos 2 (52)^2 - 3 (52) - 52 (52) - 5 diretamente na expressão:
2 (52) - 5 = 5 - 5 = 0
Calculando o denominador:
2 (254) - 152 - 5 = 504 - 304 - 204 = 0
O numerador também:
Então, temos uma forma indeterminada . Isso significa que podemos simplificar a expressão antes de calcular o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o polinômio do numerador 2t^2 + 2t - 5t - 5 . Para isso, procuramos dois números que multiplicados dão (2t^2 + 2t) + (-5t - 5) e que somados dão 2t(t + 1) - 5(t + 1) . Esses números são (2t - 5)(t + 1) e .
Reescrevendo o polinômio:
Agrupando os termos:
Fatorando cada grupo:
Agora, percebemos que é fator comum:

Passo 4

Substituindo a fatoração na expressão original:
(2t - 5)(t + 1)2t - 5
Podemos cancelar o termo t + 1 no numerador e denominador, desde que (o que já sabemos que não ocorre no limite, já que está nos aproximando de ):

Passo 5

Agora, calcular o limite da expressão simplificada:
lim t 52 (t + 1) = 52 + 1 = 72

Resposta

O limite é .

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