Calcule os limites
lim x 0 raiz1+x-1-x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite de uma função quando se aproxima de 0. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites, uma parte fundamental do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar conhecer regras básicas de limites e, possivelmente, usar técnicas de simplificação de expressões envolvendo raízes.

Passo 2

Vamos começar analisando a expressão do limite:
lim x 0 raiz1+x-1-x
Nosso objetivo é simplificar essa expressão para que possamos encontrar o valor do limite facilmente. Uma técnica comum para lidar com expressões que envolvem raízes é a racionalização.

Passo 3

Racionalizar significa manipular a expressão para eliminar a raiz do denominador ou do numerador. No nosso caso, temos uma raiz no numerador. Para racionalizar, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador, que é . Isso ajuda a eliminar a raiz no numerador.

Passo 4

Vamos multiplicar a expressão original pela conjugada:
raiz1+x-1-x times raiz1+x+1raiz1+x+1 = (raiz1+x-1)(raiz1+x+1)-x(raiz1+x+1)
No numerador, usamos a identidade .

Passo 5

Aplicando a identidade no numerador:
(raiz1+x)^2 - (1)^2 = (1 + x) - 1 = x
Então, a expressão simplifica para:
x-x(raiz1+x+1)

Passo 6

Agora, podemos simplificar o 1-(raiz1+x+1) = -1raiz1+x+1 no numerador e no denominador:
Isso simplifica bastante a expressão e facilita o cálculo do limite.

Passo 7

Agora, substituímos -1raiz1+0+1 = -11+1 = -12 por 0 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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